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étude d une équation fonctionnelle
Bonjours a tous
étude d'une équation fonctionnelle
Soit I un intervalle. Le but de ce problème est la recherche des fonctions f définies et dérivables sur I qui vérifient l'équation fonctionnelle (E) suivante :
(E) : pour tous a et b de I, f(ab) = f(a) + f(b)
Autrement dit on recherche toutes les fonctions qui transforment les produits en sommes sur un intervalle donné.
1) La fonction nulle est-elle solution de (E) ?
2) Démontrer que si f est solution de (E), alors pour tout réel k, la fonction kf est aussi solution de (E).
3) Dans cette question, on suppose que I contient 0. Soit f une solution de (E).
Démontrer qu'alors, pour tout b de I : f(b) = 0.
On constate que si I contient 0, alors seule la fonction nulle est solution de (E).
Pour les questions 4) et 5), on suppose que / = ]0 ; + oo[ et que f est une solution de (E) sur I.
4) A l'aide de valeurs de a et b bien choisies, démontrer que f(1 ) = 0,
5) Soit a un élément de I. On considère la fonction ga définie sur I par : ga(x) = f(ax) - f(x) .
a) Démontrer que ga est une fonction constante sur I. (On précisera la valeur de cette constante).
b) En déduire que pour tout x de I, on a : af'(ax)—fr{x)=0 .
c) En déduire qu'il existe un réel k tel que : f '(a)= k/a
On a donc démontré qu'une fonction derivable f qui transforme les produits en sommes sur /=]0;+oo[
vérifie: {S): f(1) =0
il existe un réel k tel que pour tout x appartenant à I ; f'(x)= k/x
Nous allons maintenant étudier la réciproque.
6) Soit f une fonction définie et derivable sur /=]0;+oo[ vérifiant (S).
Démontrer que f vérifie (E).
(on pourra utiliser la fonction ga définie à la question 5)
Qu'as-tu commencé à faire?
certaines questions ne devraient pas te poser de pb.
Pour lesquelles as-tu besoin d'aide?
Bonjour
Bon bah g fais les 3 1eres ms je ne sais pas si c bon
voila
1)
Soit
f(x) = 0 avec x appartenant à R
pour tous a et b apparteant à R²
f(ab) = 0 <===> f(a) = 0 et f(b) = 0
donc f(ab) = f(a) + f(b) = 0 + 0 =0
donc la fonction nulle est solution de (E)
2)
Si f est solution de (E)
kf(ab) = k[f(a) + f(b)]
= kf(a) + kf(b)
donc kf est solution de (E) aussi
3)
I contient 0 et f est solution de (E)
b appartient à I
f(ab) = 0
donc f(a) + f(b) = 0
f(a)= f(b) donc f(b) = 0 ????????? c un pe vite non et trop simpliste non ?
Dans (1), attention à ton équivalence.
Il suffit juste de dire:
Soit f la fonction nulle, cad pour tous réel de I, f(x)=0.
f(ab)=0 et f(a)=f(b)=0.
donc f(a)+f(b)=0=f(ab) donc f est solution de (E).
(2)bien
(3)Appliquons l'équation (E) à f pour a=0 (0 appartient bien à I) et b élément de I:
f(0*b)=f(0)+f(b)
Or O*b=0
D'ou: f(0)=f(0)+f(b)
on en déduit: f(b)=0 pour tout réel b élément de i.
4) f est solution de (E) et 1 appartient à I.
Appliquons l'équation (E) à f pour a=b=1:
f(1*1)=f(1)+f(1)
on a alors:
f(1)=2f(1)
l'unique solution de cette équation est: f(1)=0.
5)ga(x)=f(ax)-f(x)
a) ga(x)=f(a)+f(x)-f(x) car f est solution de (E).
donc: ga(x)=f(a) = constante.(ne dépend pas de x).
b) comme ga est constante, alors sa dérivée est nulle:
g'a(x)=0
or: g est dérivable car f est dérivable sur I et:
g'a(x)= af'(ax)-f'(x)
d'ou: af'(ax)-f'(x) = 0
c) appliquons cette équation pour x=1 (1 appartient bien à I):
af'(a)-f'(1)=0
soit: f'(a)=f'(1)/a
posons k=f'(1) 
, alors:
il existe bien un réel k tel que:
f'(a)=k/a
ah oki merci bcp
bon la 4 je crois ke g reussi ms pas sur non plus
4) f(ab)=0
pour a = 1
f(1*b) = f(1) + f(b)
or f(ab) = 0 donc f(1)+f(b) = 0 donc f(1)=f(b)=0
d'ou f(1) = 0
c bon ?
Sinon pour les deux dernieres kestion je suis bloké
bon chui en retard .... 
je regarde et si g des kestions je vous dirais
en tout Merci beaucoup deja
Nikel y a des trucs o kel j'avais pensé ms je n'ai su les utilisés comme il fallait pr y arriver
et la g tout compris a ce ke vous avez fait je regarde si j'arriverai a faire la 6 tout seul et je reviens
Merci encore...
Bonsoir
On a donc démontré qu'une fonction derivable f qui transforme les produits en sommes sur I=]0;+oo[
vérifie: {S): f(1) =0
il existe un réel k tel que pour tout x appartenant à I ; f'(x)= k/x
Nous allons maintenant étudier la réciproque.
6) Soit f une fonction définie et derivable sur /=]0;+oo[ vérifiant (S).
Démontrer que f vérifie (E).
(on pourra utiliser la fonction ga définie à la question 5)
Debut de mon raisonnement
ga = f(ax) - f(x)
Or ga= f(a)
f(ax) - f(x)= f(a)
f(ax)=f(a) + f(x) déja sous cette forme on reconnais f(ab) = f(a) + f(b)
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