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Étude d'une famille d'endomorphisme

Posté par
2RaiKo5 05-11-22 à 16:59

Bonjour à tous,
Voici  un sujet que j'ai croisé récemment :
Soit u \in \mathcal{L}(E) diagonalisable. Soit n \in \mathbb{N}. Montrer que
(Id, u, u^2, ... , u^n) est libre ssi \exists x \in E, (x,u(x) ... u^n(x)) soit libre. (j'imagine que on doit en déduire les hypothèses en plus sur n par rapport à la dimension de E)
Pour le sens réciproque, je l'ai réussi sans trop de soucis mais j'ai beaucoup plus de mal avec le sens direct, j'ai essayé d'écrire l'endomorphisme dans une base adaptée, utilisé les valeurs propres... pas grand-chose n'y fait. Pourriez-vous m'aider ?

Posté par
verdurinre : Étude d'une famille d'endomorphisme 05-11-22 à 17:27

Bonsoir,
un endomorphisme v ( une combinaison linéaire d'endomorphismes est un endomorphisme ) est non nul si et seulement si il existe x tel que v(x) est non nul.

Posté par
GBZMre : Étude d'une famille d'endomorphisme 05-11-22 à 17:31

Bonjour,
On peut penser à utiliser le polynôme minimal de u. Si u est diagonalisable, ce polynôme est scindé à racines simples.

Posté par
2RaiKo5re : Étude d'une famille d'endomorphisme 06-11-22 à 11:20

Bonjour,
Verdurin, dans ce que tu me dis cela ne me permet pas de conclure, je trouve un problème dans l'ordre des quantificateurs :
Grâce à ce que tu me dis, je déduis \forall (\lambda_1 ... \lambda_{n+1}), \exists x \in E, \lambda_1 x + ... + \lambda_{n+1} u^n(x) \neq 0 et il me faudrait \exists x \in E, \forall (\lambda_1 ... \lambda_{n+1}),  \lambda_1 x + ... + \lambda_{n+1} u^n(x) = 0 \Rightarrow \lambda_1 = ... = \lambda_{n+1} = 0, je ne vois donc pas comment ce que tu me dis permet de conclure (il n'y a pas l'hypothèse de diagonalisabilité non plus)
GBZM, ce n'est pas plutôt l'inverse ? Si le polynôme caractéristique de u est scindé à racines simples alors u est diagonalisable ? Peut-être que tu parles d'autre chose en parlant de polynôme minimal mais dans ce cas je ne l'ai pas encore vu en cours...

Posté par
GBZMre : Étude d'une famille d'endomorphisme 06-11-22 à 11:36

Le polynôme minimal est le polynôme annulateur unitaire de plus petit degré. Il divise tous les autres polynômes annulateurs. Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité est que le polynôme minimal est scindé à racines simples.


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