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Etude d une famille de fonctions
Bonjour! J'ai besoin d'aide pour un exercice sur les fonctions exponentielles, eh oui encore!(bin ouais, un peu plus bas le message intitulé "étude d'une fonction exponentielle" c'est aussi de moi
alors faites-y un petit tour si vous voulez!)
Voici l'énoncé :
On considère la fonction fk(x) définie sur [0;+
[ par fk(x)= x(e^(-x))+kx où k est un réel donné.
On note Ck sa courbe représentative.
A)ETUDE DE FK
1]a/ Déterminer selon les valeurs de k, lim(x->+)[f(x)] :
Ma réponse :
fk(x)= x(e^(-x))+kx = x(e^(-x)+k)
>pour k
]-;0[:
lim (x->+)[e^(-x)+k]= lim(x->+)[(1/e^(x))+k]= -
et lim (x->+)[x]=+.
Donc lim(x->+)[f(x)] =- qd k]-;0[.
>pour k = 0 :
lim (x->+)[e^(-x)+k]= lim (x->+)[(1/e^(x))+k]=0
et lim (x->+)[x]=+
Donc lim(x->+)[f(x)]=0 qd k=0.
>pour k [0;+[ :
lim (x->+)[e^(-x)+k]=lim(x->+)[(1/e^(x))+k]=+
et lim(x->+)[x]=+
Donc lim(x->+)[f(x)]=+qd k[0;+[.
--------> Est-ce que c'est juste ?
b/ Montrer que la droite Dk d'équation y=kx est asymptote à Ck en +. Préciser la position de Ck par rapport à Dk.
Ma réponse :
On sait que lim(x->+)[f(x)] = - qd k <0
et que lim(x->+)[f(x)] =+ k >0.
On veut montrer que la droite d'équation y=kx est une asymptote oblique à la courbe Ck.
On cherche donc :
lim(x->+) [fk(x)- kx]= lim(x->+)[xe^(-x)]=0
On en conclut que la droite y=kx est asymptote à Ck en +.
Pour étudier la position de la courbe, on cherche le signe de la différence:
f(x)-kx=xe^(-x)
On a donc xe^(-x)<0 sur ]-;0[, xe^(-x)=0 pour x=0 et xe^(-x)>0 sur ]0:+[.
On en déduit que Ck est en dessous de y sur]-;0[et que Ck est au-dessus de y sur ]0 ;+[.
---------> est-ce que c'est juste ?
c/ Calculer f'k(x) et précier lim(x->+)[f'k(x)]. Donner le sens de variation de f'k.
Ma réponse :
fk(x)= xe^(-x) +kx
f'k'(x)= 1x (-e^(-x)) +1 = -e^(-x) +1
---------> Comment dois-je faire pour préciser la limite et pour donner le sens de variation?
2]Donner le tableau de variations de fk où k=0 et où k=1
-----> comment faire ?
Je sais que l'exercice est long, mais j'ai vraiment besoin d'aide !merci !
Aurélie
Bonjour oreliye,
Toutes les limites ci-dessous sont en +oo:
pour k dans ]-oo;0[:
lim e-x+k=k car lim e-x=0
et lim x =+oo.
Donc lim f(x) =-oo qd k]-oo;0[.
>pour k = 0 :
lim e-x+k=0
et lim x =+oo
Donc on ne peut rien dire car 0.+oo est une forme indéterminée.
Il faut se ramener à la def de f : f(x)=xe-x et lim xe-x=0 (résultat du cours à priori)
donc lim f(x)=0
>pour k [0;+oo[ :
lim e-x+k=k
et lim x=+oo
Donc lim f(x)=+oo
Pour 1.b
On te demande d'étudier en +oo donc on se moque du cas où x<0 (les limites en -oo n'ayant d'ailleurs pas été calculée et lim (en -oo) de f(x)-kx n'est pas égale à 0 !!! y=kx n'est pas asymptote en -oo !!!
Pour 1.c
Il n'y a plus de k dans ta dérivée !!!
dérivée d'un produit (uv)'=u'v+v'u
dérivée d'une somme : (u+v)'=u'+v'
Manifestement il y a un soucis dans ta dérivation de fk
Pour la limite pense à ne pas factoriser par e-x cela lèvera une indétermination.
Pour étudier les variation calcul f''k=(f'k)' l'étude de la fonction f'k ne pose pas spécialement de problème (le signe de la dérivée étant relativement immédiat dès que l'on a la bonne dérivée).
Dernière question :
du signe de f''k tu en déduit les variations de f'k donc en particulier son signe et donc les variations de fk et ensuite il suffit de particulariser avec k=0 et k=1 (je pense que c'est la bonne technique j'ai pas le courage de m'y lancer 
)
Salut
merci de votre aide mais cependant, il me reste des question.
Pour une 1.b, comment dois-je faire pour montrer que Dk est asymptote en +oo?
Et pour la question 1.c, il me semble que vous utilisiez les primitives or on n'a pas encore ait ça en maths alors ça ne me paraît pas aussi évident!lool! est-ce que vous pourriez m'expliquer?
merci
Aurélie
Rebonjour,
Pour la 1.b tu l'as faite puisque tu a calculé la limite en +oo de f(x)-kx et tu as trouvé 0 c'est exactement comme cela qu'on détermine une asymptote donc je ne vois pas le problème.
Pour la 1.c j'ai parlé de dérivée (et de dérivée seconde -la dérivée de la dérivée-) je ne crois pas avoir employé le mot primitive 
d'ailleurs je ne vois très bien en quoi cela pourrait être utile en la résolution du problème.
Salut
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