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Niveau Maths sup
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Etude d'une fonction

Posté par
EvDavid
18-02-17 à 17:49

Bonsoir,

En travaillant un exercice dont l'objectif est l'étude d'une fonction définie par intégrale, j'ai trouvé du mal à répondre à certaines questions . Pour cela je demande votre aide afin que je puisse combler mes lacunes.

L'énoncé de l'exercice :
On considère la fonction f définie par : f(x)=\int_{x}^{x^{2}}{\frac{dt}{ln(t)}}
1) Vérifier que le domaine de définition de f noté Df est égal à ]0,1[ ]1, +[
2) Justifier que f est dérivable sur Df et calculer sa dérivée.
3)a- Ecrire le developpement limité de ln à l'ordre 2 en 1.
b- Justifier que \frac{1}{ln(x)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}+o(1)
c-Montrer que f' possède une limite finie en 1 à préciser.
4)a- Justifier qu'il existe ]0,1[ tq x]1-,1+[\{1} on a : \left|\frac{1}{ln(x)}-\frac{1}{x-1} \right|\preceq \frac{3}{2}
b- En déduire que : x]1-,1+[\{1} on a : \left|f(x)-ln(1+x) \right|\prec \frac{3\left|x^{2}-x \right|}{2} puis trouver la limite en 1.
c-On prolonge f par continuité en 1 et on note f la fonction ainsi obtenue. Montrer que f est dérivable en 1 et préciser sa dérivée.
5)a- Montrer que pour tout x]0,1[  : 0\preceq f(x)\preceq \frac{-x}{ln(x)} et en déduire que f est prolongeable par continuité en 0.
b- On note encore f la fonction ainsi prolongée en 0. Montrer que f' est dérivable à droite en 0.
6) Montrer que f admet une branche parabolique au voisinage de +.

J'ai la honte de dire que je n'ai pu répondre à la premiere question. Pour la deuxième je ne sais justifier.
La dérivée est sur Df :  f'(x)=\frac{x-1}{ln(x)}.
3)a- évidente. 3)b- je ne sais pas justifier. Le résultat est évident par contre ( dvpt limité de 1/1-u ).
3)c- en multipliant par x-1 on trouve que f' est continue en 1 ( car elle admet un dl en 1 d'ordre 0 , aussi on a (x-1)/2 = o(1) en 1 , on trouve f'(x)=1+o(1) en 1 ) . Donc admet une limite finie en 1 qui est 1.
4)a- d'apres le dl de 1/ln(x) on trouve qu'il existe dans l'intervalle demandé , tq pour tout x dans l'intervalle demandé aussi , la difference tend vers 1/2 qui est inférieure à 3/2 d'où l'inégalité.
À partir de là je suis bloqué.

Je suis conscient que ne pas avoir répondu aux précédentes question est grâve pour un élève de CPGE . Je ne sais pas si ces conditions de continuité d'integrale , de derivation doivent etre faite dans le cours ou c'est à partir du travail personnel qu'on doit acquerir ses connaissances. Si c'est dans le cours on ne l'a pas fait, sinon c'est ce que j'essaye de faire. J'ai énormément de lacunes en analyse surtout quand il s'agit d'études de fonctions, c'est mon premier exercice d'étude de fonction et je sais qu'il est facile et que mon niveau est moyen mais j'aiemrai m'améliorer. J'espère que vous pourrez m'aider, juste des indications ou m'envoyer vers la partie du cours correspondante( je chercherai sur internet des cours d'autres cpge au cas où ) . J'essaye de terminer l'exercice mais je trouve qu'il faut d'abord compléter les premieres questions .

Merci d'avance pour toute aide.

Posté par
carpediem
re : Etude d'une fonction 18-02-17 à 18:28

salut

posons g(x) = \dfrac 1 {\ln x}

remarquer que :

0< x < 1 => 0 < x^2 < x < 1
 \\ 
 \\ 1 < x => 1 < x < x^2

or ln s'annule en 1 donc g n'est pas définie en 1 et f est bien définie sur l'ensemble donné d'après la remarque ... puisque chacun des intervalles [x^2, x]  ou  [x, x^2] est inclus dans chacun des intervalles ]0, 1[ et ]1, +oo[ suivant que 0 < x < 1 ou que x > 1

g est continue et les bornes de l'intégrale sont des fonctions continues et dérivables de la variable x donc f est dérivable

en notant G une primitive de g (sur chacun des intervalles ]0, 1[ et ]1, + oo[ car g y est continue sur chacun)

alors f(x) = G(x^2) - G(x) donc f'(x) = 2xG'(x) - G'(x) = 2xg(x^2) - g(x)


ln (1 + h) = ... ?

donc ln x = ln (1 + x - 1) = ...

donc 1/ln x = ...

Posté par
luzak
re : Etude d'une fonction 18-02-17 à 18:35

Bonsoir !
x>0 est une première obligation. De plus, il faut que 1 ne soit pas entre x,\;x^2 ce qui est vrai pour x\neq1

La dérivée me semble exacte.

Dire que le développement de \ln en 1 est évident, sans pouvoir faire la question suivante est suspect.
\ln x\underset{x \to1 }{\quad=\quad}0+(x-1)-\dfrac{(x-1)^2}2+o((x-1)^2) donc
\dfrac1{\ln x}\underset{x \to1 }{\quad=\quad}\Bigl((x-1)-\dfrac{(x-1)^2}2+o((x-1)^2\Bigr)^{-1}\underset{x \to1 }{\quad=\quad}\dfrac1{x-1}\,\dfrac1{1-\frac{x-1}2+o(x-1)}\underset{x \to1 }{\quad=\quad}\dfrac1{x-1}\Bigl(1\dfrac{x-1}2+o(x-1)\Bigr)

4.b Il suffit d'intégrer entre x,\;x^2 (attention à la position de x et1) l'encadrement de \dfrac1{\ln x}

5.a. Attention : pour x<1 tu as x^2<x,\;\ln x<0 je te conseille de mettre les bornes de l'intégrale dans le bon sens et garder (-\ln x) dans tous les calculs.
A partir de \ln t<\ln x pour x^2<t<x et en intégrant, tu devrais trouver l'inégalité demandée.

Posté par
EvDavid
re : Etude d'une fonction 18-02-17 à 20:35

Je vous remercie pour m'avoir répondu.  Donc géneralement pour une fonction F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}{f(t)dt} est définie sur l'intersection des domaines de definition u et v et f ?
luzak ce n'est pas que je ne sais pas répondre la question mais la justification . Il ne faut pas dire quelque chose du genre f(0)=/=0 ( dans notre cas on a ln(1)= 0 ) car un theoreme du cours dit que si f(0)=/=0 et f de C^n alors 1/f admet un dLn(0) . Sinon j'ai bien eu les formules demandées ^^".
Pour 4.b , si on integre la relation de 4.a on ne tombera pas sur la formule demandées non ? Car 1/ln(x) represente f'(x)/(x-1) et on nous demande ln(x+1) et non ln(1-x) qu'on trouve apres integration de 1/(x-1)
Je vais essayé immediatement ce que vous m'avez proposé en 5.a

Merci encore à vous carpediem et luzak

Posté par
luzak
re : Etude d'une fonction 19-02-17 à 09:12

Ce n'est pas tout à fait une intersection d'intervalles de définition !
u,v doivent être définies ET, f doit être intégrable (à ton niveau, peut-être faut-il la continuité) sur les intervalles formés par u(x),\;v(x).

Pour le 4b il ne faut pas comprendre "intégrer" dans le sens "prendre une primitive" mais "faire l'intégration sur l'intervalle utile".

Pour x<1, \;\dfrac1{\ln x}-\dfrac1{x-1}<k(x) tu auras \int_{x^2}^x\Bigl(\dfrac1{\ln t}-\dfrac1{t-1}\Bigr)\mathrm{d}t\leqslant\int_{x^2}^{x}k et,

Pour x>1 tu auras \int_x^{x^2}\Bigl(\dfrac1{\ln t}-\dfrac1{t-1}\Bigr)\mathrm{d}t\leqslant\int_x^{x^2}k.

Dans les deux cas tu retrouveras bien f(x),\;\ln(x+1) comme demandé.

Posté par
EvDavid
re : Etude d'une fonction 19-02-17 à 17:38

Bonsoir,

Merci pour votre réponse.
+Donc en général une fonction F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}{f(t)dt} est définie sur D_{F}=\left\{x\in R | f continue sur [min(u(x),v(x)),max(u(x),v(x))] \right\} ?  ( Donc on pratique on cherche les intervalle où f est continue, puis on regarde l'intersection avec les intervalles formés par u(x) et v(x) ? )
Et sinon pour la continuité et la dérivabilité de F ?
+ Pour l'inégalité en 4.b je n'arrive pas à l'avoir. En fait ce n'est pas que je n'arrive pas à l'avoir, mais je pense qu'il y'a un certain problème. Si on prend x dans ]1-,1[ , on a bien x2<x mais rien ne nous garanti que x2>1- ( car il faut bien avoir 1-<x2tx<1 non ? )
+ Je bloque dans 4.c si vous pouvez me donner une indication , je n'arrive pas à calculer f(x)-ln(2)/(x-1).
+ Pour 5.a sa marche parfaitement !
+ J'aimerai poser une question , dans la question 3.c) on a montré que f' admet un développement limité d'ordre 0 en 1 , donc selon le cours, f' est continue en 1, or on ne peut pas remplacer 0 dans l'expression de f' ^^", je suppose que la continuité n'a rien à voir avec un "remplacement" dans l'expression n'est ce pas ? Aussi ne peut-pas dire que puisque f' continue en 1 alors f dérivable en 1 ?

Je tient à vous remercier encore pour tout .

Posté par
etniopal
re : Etude d'une fonction 19-02-17 à 18:10

Si J , K  sont des intervalle s , f : J     une application  continue ,  u et v  des applications de J vers telles que u(J) et v(J) soient contenus dans J on peut considérer  le réel pour tout x de K  H(x):=\int_{u(x)}^{v(x)}{f} puisque  l'intervalle d'extrémités u(x) et v(x) est contenu dans J .
On définit ainsi une application de J vers .

D'ailleurs si F est une primitive de f , on a  pour tout x de K  , H(x)  = F(v(x)) - F(u(x))[/tex]  .

Ceci  permet de voir , si u et v sont de plus dérivables , que H est dérivable et que sa dérivée est facilite  à exprimer  .

Posté par
EvDavid
re : Etude d'une fonction 19-02-17 à 19:58

Merci énormément pour votre réponse , sa a dissipé toutes mon ignorance sur ce sujet ^^ . Une dernière question, vous vouliez dire que u et v sont des applications de K vers et que K contient J ( pour parler de u(J) et v(J) ) ? ( Je pose cette question car vous avez mentionné l'intervalle K au début mais plus après ) .

Merci encore ^^

Posté par
luzak
re : Etude d'une fonction 20-02-17 à 09:04

Tu dois montrer qu'il existe \alpha ! Rien ne t'empêche de le choisir, à priori, tel que x\in[1-\alpha,1+\alpha]  ET  x^2\in[1-\alpha,1+\alpha] : c'est évidemment possible puisque x\mapsto x,\;x\mapsto x^2 sont continues en 1.

4.c. Pour h>0, si f est dérivable sur ]1,1+h[, continue en 1, tu peux utiliser la formule des accroissements finis f(x)-\ln2=f(x)-f(1)=(x-1)f'(1+\theta h).
Idem pour h<0.

Si tu démontres que la dérivée a une limite en 1, par théorème des accroissements finis (comme ci-dessus), tu peux montrer que f est continue en 1, dérivable en 1, la dérivée étant égale à la limite de f'.

Posté par
EvDavid
re : Etude d'une fonction 20-02-17 à 21:08

Bonsoir,

Je vous remercie pour m'avoir répondu et éclairé , et je m'excuse d'avoir requit tellement d'aide.

J'ai compris le premier point.

Pour le deuxième point j'ai quelques question s'il vous plait. J'ai bien compris l'application du TAF . Seulement le qui apparait m'embrouille un peu . En appliquant " naturellement le TAF " sur l'intervalle [1,x]avec x choisit inférieur strictement à 1+ et suppérieur strictement à 1 , on trouve : c]1,x[ \frac{f(x)-ln2}{x-1}=f'(c)
, quand x tend vers 1+ , on a c tend vers 1+ , on a donc la limite de f(x)-ln(2) quand x tend vers 1+ est égale à 0 , puisque limite c tend vers 1+ de f'(c) est f'(1)=1 . Donc f dérivable en 1 avec f'(1)=1 . Pour ce que vous avez dit , je pense que vous avez paramétré l'intervalle ]1,1+h[ avec appartenant à [0,1] ? Ce qui m'embrouille encore c'est quand x tend vers 1+ rien ne nous assure que h tende vers 0 non ?

Une dernière question s'il vous plait, selon

luzak @ 20-02-2017 à 09:04

Si tu démontres que la dérivée a une limite en 1, par théorème des accroissements finis (comme ci-dessus), tu peux montrer que f est continue en 1, dérivable en 1, la dérivée étant égale à la limite de f'.
. Donc on peut généraliser en disant que toute fonction dérivable sur un intervalle centré en x0 telle que sa dérivée admette une limite  finie en x0 alors f est dérivable en x0 ?

Merci d'avance ^^

Posté par
luzak
re : Etude d'une fonction 21-02-17 à 08:08

Au lieu d'essayer de jouer avec des "tend vers" qui ne veulent rien dire, il est plus simple de revenir aux inégalités de définition :
Dire \lim_{t\to1}f'(t)=1 c'est avoir |t-1|<u\implies|f'(t)-1|<\varepsilon.
Alors, si 1<c<1+u tu as \Bigl|\dfrac{f(x)-\ln2}{x-1}-1\Bigr|=|f'(c)-1|<\varepsilon
Idem lorsque 1-u<c<1.

Citation :
Donc on peut généraliser en disant que toute fonction dérivable sur un intervalle centré en x0 telle que sa dérivée admette une limite  finie en x0 alors f est dérivable en x0 ?

Je comprends ce que tu veux dire mais ton énoncé est bien maladroit ! Quel besoin d'un théorème qui finit par " f dérivable en x_0 " si tu fais l'hypothèse " f dérivable sur un intervalle de centre x_0 " ?
Il faudrait dire : f dérivable sur I\setminus\{x_0\} etc...
Et j'insiste : pour des fonctions à valeurs réelles, l'existence d'une limite finie "à droite" pour la dérivée implique le prolongement "à droite" en x_0 pour la fonction et CE prolongement est dérivable en x_0 avec une dérivée égale à la limite. Mais il est facile de trouver des fonctions non continues en x_0 dont la dérivée admet une limite finie en x_0.

Posté par
EvDavid
re : Etude d'une fonction 24-02-17 à 22:05

Bonsoir,

Je m'excuse d'avoir tardivement répondu. Mes circonstances ne me permettaient pas de répondre plus tôt. Je vous remercie pour toute l'aide que vous m'avez offert et pour tout votre effort .

Merci encore ^^



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