bonsoir

remarquez que f(x)=exp[(1/x).ln(1+x)]=exp(ln(1+x)/x).

et vous l'étudiez le plus normalement du monde.

bon courage.

La voie indiquée par Watik est très bonne, en voici une autre si
on connait la dérivée de u^v avec u et v fonctions de x.

f(x)=(1+x)^(1/x)

Df: x dans ]-1 ; 0[ U ]0 ; oo[

f '(x) = (1/x).(1+x)^((1/x) -1) + (1+x)^(1/x).(-1/x²).ln(1+x)
f '(x) = (1+x)^(1/x)  [((1/x)/(1+x)) - (1/x²).ln(1+x)]
f '(x) = {[(1+x)^(1/x)]/[x²(1+x)]}.[x - (1+x).ln(1+x)]

{[(1+x)^(1/x)]/[x²(1+x)]} > 0 dans Df et donc f'(x) a le signe de g(x) = x - (1+x).ln(1+x)

g'(x) = 1 - 1 - ln(1+x)
g'(x) = -ln(1+x)
g'(x) > 0 pour x dans ]-1 ; 0[ -> g(x) est croissant.
g'(x) = 0 pour x = 0
g'(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> g(x) est décroissant.

g(x) est maximum pour x = 0, ce max = g(0) = 0

et donc g(x) < 0 pour x dans Df

f '(x) < 0 pour x dans Df et f(x) est décroissante.

lim(x-> -1+) f(x) = +oo
Et donc la droite d'équation x = 0 est asymptote verticale à la
courbe représentant f(x).

lim(x-> 0) f(x) = e
La fonction f(x) peut être prolongée en 0.

lim(x-> oo) f(x) = 1
La droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe
représentant f(x).
-----
Sauf distraction.    

comment calculer  la dérivé de la fonction e^(ln(1+x)/x)

** message déplacé **

Salut
ta fonction est de la forme uov avec u = e^(x) et v = (ln(1+x))/x
v est de la forme (t/w) qui se dérive v' = (t'w-tw')/w²
et aussi t est de la forme ln o s qui se dérive t' = s'/s
Voilà j'espère que ça pourra t'aider

pourait-on m'aider
comment trouver le signe de
f(x)=((x/(1+x)-ln(1+x))/x^2)e^(ln(1+x)/x)

** message déplacé **

f(x) = e^(ln(1+x)/x)

f '(x) = e^(ln(1+x)/x).(((x/(1+x))-ln(1+x))/x²)
f '(x) = (1+x)^(1/x).(((x/(1+x))-ln(1+x))/x²)
f '(x) = (1+x)^(1/x).(((x/(x²(1+x)))-(1+x).ln(1+x))/(x²(1+x))
f '(x) = {[(1+x)^(1/x)]/[x²(1+x)]}.[x - (1+x).ln(1+x)]

Tu remarqueras que la solution est la même que lors de ma réponse précédente
avec une autre méthode.

Comme une exponentielle est > 0 quel que soit son argument, on a:
e^(ln(1+x)/x) > 0
et comme x² > 0 (sauf en x = 0) (mais f(x) n'est pas défini en
0)

On a f(x) a le même signe que [x/(1+x)-ln(1+x)], c'est déjà moins
touffu.

[x/(1+x)-ln(1+x)] = (1/(1+x)).[x - (1+x).ln(1+x)]

Or 1+x > 0 (pour que le ln(1+x) existe) et donc:
[x/(1+x)-ln(1+x)] a le signe de g(x) = [x - (1+x).ln(1+x)]

Et ceci a été traité dans une de mes réponses: <A HREF="https://www.ilemaths.net/sujet-etude-d-une-fonction-galere-8637.html">Clique ici</A>

Si tu ne comprends pas, il vaudrait mieux demander des explications
plutôt que de reposer plusieurs fois la question.

J'ai regroupé tous ces messages qui se rapportent à la même
question dans un seul topic ...

flancher, tu peux poster dans ton topic déjà ouvert pour le faire remonter,
et qu'on s'y retrouve un peu dans tous les messages du
forum ?
Merci beaucoup