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Etude d'une fonction racine-carré

Posté par
barka54
30-12-20 à 20:17

Bonsoir,
J'ai besoin de votre aide pour traiter  un exercice sur les fonctions racine-carré.
Voici l'énoncé:

Soit f une fonction définie par f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}}{x-1}}.
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son domaine de définition. En déduire que la courbe de f admet une démi-tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 0.
2) Etudier les variations de f et démontrer que sa courbe admet trois asymptôtes dont précisera les équations.
3) Tracer la courbe de f.

Mon début:
1) Domaine de définition
f(x) existe si x³/(x-1) ≥0
=> Df=]-∞;0]U]1;+∞[.

J'aimerais donc  calculer les limites aux bornes du domaine de définition :
-limite de f en -∞:
lim\sqrt{\frac{x^{3}}{x-1}} mais j'obtiens une forme indéterminée bien que j'ai essayé de la lever en utilisant la forme conjuguée du numerateur...

Posté par
barka54
re : Etude d'une fonction racine-carré 30-12-20 à 20:35

j'obtiens limite de f en -∞ =+∞

Posté par
barka54
re : Etude d'une fonction racine-carré 30-12-20 à 20:35

-la limite en +∞ donne +∞

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Etude d'une fonction racine-carré 30-12-20 à 20:49

Bonjour,
Comment obtiens-tu ces limites finalement ?
Et il reste les limites en 0 et 1.

Posté par
barka54
re : Etude d'une fonction racine-carré 30-12-20 à 21:18

Voici comment je les ai obtenues:
-limite de f en -∞:
lim\sqrt{\frac{x^{3}}{x-1}}
=lim\sqrt{\frac{x^2}{1-1/x}
la limite de x² en -∞ est +∞ et celle de 1-1/x est 1 donc la limite de f en -∞ est +∞.

j'ai fait de même pour avoir la limite en +∞ qui est +∞

Posté par
barka54
re : Etude d'une fonction racine-carré 30-12-20 à 21:30

-la limite en 0 est 0,
-limite en 1 (à gauche et à droite):
c'est là où je rencontre une forme indéterminée du type 0/0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Etude d'une fonction racine-carré 30-12-20 à 22:37

Limite en 1 que à droite. Et pas de forme indéterminée du type 0/0.
A demain.

Posté par
barka54
re : Etude d'une fonction racine-carré 31-12-20 à 12:22

Bonjour,
*calcul de la limite en 1 :
lim f(x)=lim(√(1/0+)=+∞.


Etude de la derivabilité et de la continuité de:

La fonction f est composée : √x et x³/(x-1) . √x est continue sur [0; +∞[ et  x³/(x-1) est continue sur R-{1} ; donc la fonction f est continue sur son domaine de définition ]-∞;0]U]1;+∞[.

Je constate que, lorsque x tend vers 0  lim\frac{f(x)-f(0)}{x-0} n'est pas finie ,  f est donc dérivable sur Df sauf en 0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Etude d'une fonction racine-carré 31-12-20 à 12:33

Bonjour,
Tu constates comment ?
Par ailleurs, tu ne justifies pas la dérivabilité ailleurs qu'en 0.

Pour la continuité, c'est un peu léger : Il faut préciser x³/(x-1) est bien dans [0;+[
Plus correct de donner des noms aux fonctions, car x et x³/(x-1) sont des expressions, pas des fonctions.
g(x) = x et u(x) = x3/(x-1).
f = gou.

Pour les limites, je te déconseille de rédiger comme tu le fais.

Posté par
barka54
re : Etude d'une fonction racine-carré 31-12-20 à 13:14

pour la limite 1+ de f(x)/x je trouve toujours une FI:
lim 1/x(√(x³/(x-1)))=0/0 ...je sais pas comment lever cette FI

Posté par
barka54
re : Etude d'une fonction racine-carré 31-12-20 à 13:31

ça y est, je trouve comme nombre derivé à droite en 0 , 0.
f'(0)=0 . f est dérivable en 0, par conséquent,  elle admet une tangente (démi) au point d'abscisse 0 d'équation y=f'(0)(x-0)+f(0) , or f'(0)=0
donc y=f'(0)=0 . Donc Cf admet une demi tangente parallèle à l'axe des abscisses.

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