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Etude d'une fonction rationnelle et limites
G un exo a faire mai jcompren pa trop ...
(merci davance)
f est définie sur ]-infinie;1/2[inclus]1/2;+infinie[ par f(x)=(2x-2)²/2x-1
On désigne par C la courbe représentative de la fonction f ds un repère orthogonal(o,i,j)
1°) Déterminer les limites de f en 1/2. Les interpréter graphiquement.
2°) a- Déterminer les limites de f en +infinie et en -infinie.
b- Déterminer des réels a,b et c tels que, pour tout x différent de 1/2, f(x)=ax+b+c/2x-1
En déduite l'existence d'une asymptote oblique D à C dont on donnera une équation. Etudier la position relative de D et C.
3°) a- Utiliser la forme trouvée au 2°) b- pour calculer la dérivée f' de f.
b- Etudier les variations de f et dresser le tableau des variations de f. Vérifier la cohérence avec les limites trouvées plus haut.
4°) On appelle I le point d'intersection des deux asymptotes de C. Démontrer que I est centre de symétrie de C.
5°) Construire C et ses asymptotes en précisant aussi les points à tangente horizontale.
6°) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x)=k, où k est un réel donné. ( On discutuera suivant les valeurs du réel k)
bonjour,
C'est un exercice hyper classique, tu devrais essayer de le comprendre...
1°) Quand x---> 1/2 par valeur supérieure , le numérateur tend vers une valeur finie positive, le dénominateur vers 0+ . Le rapport tendra vers .
Quand x---> 1/2 par valeur inférieure , le numérateur tend vers une valeur finie positive, le dénominateur vers 0- . Le rapport tendra vers .
Interprétation graphique: la courbe admet une asymptote verticale d'équation x= 1/2.
2°)a) Les limites en l'infini donnent une forme indéterminée.
Pour la lever il faut factoriser par le x de plus haut degré au numérateur et au dénominateur et simplifier avant de calculer la limite.
On obtient: et
b) Ici, tu mets l'expression au même dénominateur et tu identifies le polynôme trouvé avec celui de f(x) . Les coefficients de x² doivent être égaux entre eux, ceux de x aussi , les termes constants aussi.
T obtiens un système en a,b,c à résoudre qui te donne finalement:
Cette écriture de f(x) te permet de conclure à une asymptote oblique d'équation y = 2x-3 puisque le terme tend vers 0 quand x tend vers l'infini.
La position relative de f(x) et de son asymptote se trouve en étudiant le signe de f(x) - (2x-3) qui vaut ici .
Quand cette fraction est positive, la courbe est au dessus de l'asymptote.
Quand cette fraction est négative , la courbe est au dessous.
3°) calcul de la dérivée de f
il faut étudier le signe du numérateur ( puisque le dénominateur est positif) pour construire le tableau de variations.
4°) I etant sur l'asymptote verticale, son abscisse est 1/2
Il est aussi sur l'asymptote oblique donc il vérifie d'où
donc I(1/2;-2)
pour montrer qu'il est centre de symétrie on peut montrer par exemple que :
si est dans Df alors
y est aussi et
5°) courbe:
6°) résolution de f(x) = k.
La droite y = k est une droite horizontale . Résoudre f(x) = k c'est chercher l'intersection de cette droite horizontale et de la courbe.
Suivant la valeur de k , la droite coupera la courbe en 0,1 ou deux points. A toi de préciser ces valeurs de k.
Bon travail !
merci beaucoup jai compris, on a fait la suite de la leçon et c'est plus clair pr moi en plus de tes explications!!!! merci quand mm
Je suis élève en classe de première S. J'ai consulté vos cours de maths qui m'ont vraiment beaucoup aidée mais je n'arrive pas à comprendre comment dans les exercices sur les limites d'une fonction, vous arrivez à simplifier dans l'exercice 2 h(x)=2x+1/x-1, fonction discontinue pour en faire une fonction continue.('
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bonjour Jessi et bienvenue sur l'
!
Tu ne connais pas encore les règles du forum , mais pour poser une question sur un sujet différent, il faut créer son propore topic en cliquant sur : 
en haut à guche de la page .
Cela dit , pourrais tu préciser de quel exercice tu parles car en cherchant sur les fiches de l'ile , j'ai trouvé effectivement cette fonction en etude de limite mais je ne vois rien sur la continuité.
Peux tu recopier l'énoncé péecisement?
En général , pour prolonger par continuité une fonction, on donne au point de discontinuité une valeur d'image qui permet de "recoller" les morceaux.
Parce que j'ai fait une erreur de calcul ! 
C'est toi qui as raison . Mais rassure toi cela ne change rien à la suite du raisonnement.
Bonjour tous le monde,
J'ai le même exercice à effectuer,je l'ai déjà fait mais dés la première question je ne trouve pas pareil que vous,pour répondre à la question 1) j'ai fait un tableau de signe et j'obtiens quand lim x> 1/2 = -
et lim x< 1/2 = + ???
Merci d'avance
bonjour,
où bloques tu?
il y a la correction écrite ( attention à l'erreur de calcul, c'est un 1 et pas un 5 au numerateur de la fraction donc
C'était au 2)a) en fait pour effectuer la limite de f(x) en + ou - je trouve que sa tend vers 2 et j'ai factorisé par x[sup][/sup] (au numérateur) et par x (au dénominateur),je ne comprend pas pourquoi vous trouvé + (pour +) et - pour - 
ah oki!
si tu veux , plus simplement , f est une fraction de deux polynomes.
la limite de f(x) sera celle des termes de plus haut degré.
au numérateur tu as ( en développant) 4x²-8x+4 => terme de plus haut degré = 4x²
au dénominateur tu as: 2x -1 => terme de plus haut degré = 2x
le rapport des deux en l'infini se comporte comme 4x²/2x soit 2x
en +infini la limite est + infini
en - infini la limite est - infini.
tu vois?
Oui en fait C'est parce que lim x (pour + ) = + et pour - = -? et quand on multiplit par 2 sa change rien,C'est sa?
Merci beaucoup
J'ai une petite question pour la 3) a) est-ce que vous trouvé bien pour la dérivée f'(x)= 8x²-4x/ (2x-1)² ? et la dernière ligne de mon tableau de signe C'est + - +
Merci d'avance
bon je reprends l'exo à partir de la question 3), parce qu'hier j'ai dit une betise:
\3)a) f'(x) =
b)
x -inf 0 1/2 1 +inf
--------------------------------------------------------------
f' + 0 - || - 0 +
--------------------------------------------------------------
f crois -4 decrois || decrois 0 croiss
4°)comme je l'ai dit auparavant :
I etant sur l'asymptote verticale, son abscisse est 1/2
Il est aussi sur l'asymptote oblique donc il vérifie y = 2x-3 d'où y = -2 donc I(1/2;-2)
pour montrer qu'il est centre de symétrie on peut montrer par exemple que :
si 1/2 + x est dans Df alors 1/2 - x y est aussi et
5) la courbe dessinee reste valable
6°) résolution de f(x) = k.
La droite y = k est une droite horizontale . Résoudre f(x) = k c'est chercher l'intersection de cette droite horizontale et de la courbe.
Tu traces donc une horizontale y=k au niveau que tu veux, tu vois que suivant la valeur de k , la droite coupera la courbe en 0,1 ou deux points. A toi de préciser ces valeurs de k.
voilà
En fait pour la 4) je dois trouver le même résultat,d'un point de vue général que f(a+h) = f(a-h),C'est sa?
euh ça c'est la relation à verifier pour un AXE de symetrie
celle que je t'ai ecrite est pour un CENTRE de symetrie
mais c'est le meme genre de formule , oui ...
si tu la veux de façon generale c'est qui prouve que (a;b) est centre de symetrie de la courbe de f
Bonjour
Je dois moi aussi faire cet exercice mais je n'arrive pas à faire la question 2)b) est ce que vous pourriez expliquer plus en détails cette réponse svp ?
Merci (en espérant que quelqu'un regarde ce sujet vu qu'apparament ca fait déjà 1 an qu'il a été posté ...)
bonjour,
2)b)on a: f(x)=(2x-2)²/(2x-1)=
on veut: f(x)=ax+b + c/(2x-1)
on part de :
On veut l'égalité avec f(x).
Les dénominateurs sont identiques, il faut les numérateurs égaux quelque soit x donc :
ce qui donne
et f(x) s'ecrit donc
Merci beaucoup =D
En fait j'avais mis 2a=2 >.< J'comprend mieux pourquoi je trouvais pas le même résultat ...
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