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Niveau terminale
Etude d'une fonction sinus
Posté par MatBIBI
Bonjour :
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=-(1/4)*cos(2x)+(2/3)*cos(x)^3
1. Etudier la parité de f.
2.
2.1. Démontrer que la fonction f est périodique et préciser sa période.
2.2. En déduire l'intervalle I sur lequel on peut restreindre l'étude de la fonction f.
3. Etudier les variations de la fonction f sur I et dresser son tableau de variations sur I.
4. Expliquer comment l'on obtient la représentation graphique entière de la fonction f sur ℝ à
partir de sa représentation graphique sur l'intervalle I.
Pour la première question j'ai simplement démontré que f(x)=f(-x)
Pour la quatrième je suppose qu'il faut juste évoquer la propriété de la périodicité qui confère la même allure à la courbe toutes les périodes et ce sur R
Les autres questions me posent problèmes, merci pour votre aide
Je trouve ça dingue de devoir "deviner" une période grâce au jeu du hasard, par tâtonnement. De plus, avant de déterminer une période il faut bien prouver que f est périodique non?
Auriez vous un moyen pour "deviner" cette période en question?
Bonjour à vous deux
Une autre solution envisageable :
Une représentation graphique sur un logiciel de géométrie permettrait peut être d'émettre une conjecture. Il ne restera plus qu'à démontrer cette conjecture
En effet ça pourrait néanmoins, cet exercice fait l'objet d'un concours ou les calculatrice sont interdites même type collège.
Oui en effet, on fait f(x+2
) et on retrouve l'expression initiale grâce à la formule :
cos(2+x)=cos(x)
MatBIBI @ 11-05-2019 à 15:52
Et donc question 2.2 : on peut restreindre l'étude de f à l'intervalle I
0;2
Et donc question 2.2 : on peut restreindre l'étude de f à l'intervalle I
0;2on peut faire mieux ...
on peut restreindre à n'importe quel intervalle de longueur 2pi
mais comme la fonction est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
on peut donc "couper" l'intervalle d'étude en deux... à condition qu'il soit symétrique par rapport à 0
MatBIBI @ 11-05-2019 à 15:53
Pour la question 3 : calculer la dérivée, j'ai du mal à dériver cos(x)^3
Pour la question 3 : calculer la dérivée, j'ai du mal à dériver cos(x)^3
cours : dérivée de un où u est une fonction
Bonjour,
il n'y a pas de "x" dans la définition d'un intervalle d'étude ! que des bornes fixées et connues.
Oui j'ai bien compris que la fonction peut-être étudiée sur tout intervalle tous les 2
Et par rapport à la symétrie avec l'axe des 0 en ordonné il n'y en a pas
une fonction 2-périodique te permet de te restreindre à n'importe quel intervalle de longueur 2
il faut en choisir un.
mais une fonction paire te donne aussi un renseignement :
puisque f(-x)=f(x), cela signifie que si tu connais l'image de x, alors tu connais l'image de (-x) ... tu en as 2 pour le prix d'un !
ainsi, par exemple, si une fonction paire est définie sur [-2 ; 2] ... tu peux ne l'étudier que sur [0;2] et la parité te donnera l'étude sur [-2;0]
pour pouvoir en profiter, il faut que l'intervalle soit centré sur 0
moralité :
choisis un intervalle de longueur 2 qui soit centré sur 0 ... puis n'en prend que la moitié, ça suffira
MatBIBI @ 11-05-2019 à 15:52
Et donc question 2.2 : on peut restreindre l'étude de f à l'intervalle I 0;2
Et donc question 2.2 : on peut restreindre l'étude de f à l'intervalle I
0;2C'est ce que j'ai dit en tout premier n'est-ce pas?
déjà faut noter les choses correctement !
un intervalle se note avec des crochets ... et le signe n'a strictement aucun sens ici
donc oui, tu peux l'étudier sur [0;2] si tu veux... ou sur [27 ; 29] ... ou sur [-3 ; -] ...
mais si tu essayes de comprendre ce que je te dis !
on peut encore faire mieux et l'étudier sur un intervalle plus petit.
nota HS : l'image était une figure qui a fait une apparition intempestive dans mon message de 16:40 et qui a disparu depuis
ouiii
MatBIBI @ 11-05-2019 à 17:08
On peut étudier la fonction sur I = [0;]
On peut étudier la fonction sur I = [0;
]maintenant factorise ta dérivée et fais le tableau de variation
salut,
Incise reservee aux amateurs de logiciels de calcul formel
Automatisation du tableau des variations avec Xcas
Recherche de bugs eventuels
avant de se servir de logiciel, il est bon de savoir travailler avec papier/crayon... et ses connaissances de cours !
Citation :
cet exercice fait l'objet d'un concours ou les calculatrice sont interdites même type collège.
cet exercice fait l'objet d'un concours ou les calculatrice sont interdites même type collège.
alors à plus forte raison des logiciels !!
f est croissante sur 0;/6 et /2;
f est décroissante sur /6;/2
Sur l'intervalle ;2 ce sera l'inverse.
la solution de 1-2cos(x) = 0 dans [0; π] n'est pas π/6 ... et encore moins -π/6
en plus erreurs de signes (c'est tout le contraire)
en plus c'est sur [-π; 0] l'intervalle complémentaire par symétrie
(dans [π; 2π] la description est plus compliquée que "l'inverse" : il faut recalculer les valeurs en les retranchant de 2π, alors que dans [-π; 0] il suffit d'en inverser le signe et en les mettant dans l'ordre inverse.)
pour répondre à la dernière question "Il faut donc étudier la fonction sur -pi;pi?"
on étudie sur [0; π]
puis parce que la fonction est paire (f(-x) = f(x))
on en déduit son comportement sur [-π; 0] par symétrie
(par parité)
ce qui donne la connaissance de la fonction sur [-π; +π], tout à fait
(puis enfin sur R tout entier par périodicité)
Quand on prepare un concours il n'est pas interdit de travailler seul en verifiant de temps en temps avec un logiciel.
Et ne pas attendre systematiquement l'approbation de personnes exterieures.
Qui ne seront pas là le jour du concours.