Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première LimitesTopics traitant de limites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Etude d'une limite

Posté par
almonaco 26-09-11 à 18:25

Bonjour à tous,

Voilà j'ai quelques limites de fonctions à étudier mais je n'ai vraiment rien compris au principe et je sollicite votre bienveillance pour me montrer comment cela marche.

J'ai la fonction f(x)= 5x3-3x+1 à étudier en + et -

Je trouve juste limx+5x3= +
Et de même pour - ?


Je remercie d'avance pour les réponses.

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 20:02

Bonsoir almonaco

Voci la méthode classique.

On met en facteur le terme du plus haut exposant en x, soit le terme   5x^3.

\large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3-3x+1)}=\lim_{x\to +\infty}{5x^3(1-\frac{3x}{5x^3}+\frac{1}{5x^3})

\large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3-3x+1)}=\lim_{x\to +\infty}{5x^3(1-\frac{3}{5x^2}+\frac{1}{5x^3})

On a : \large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3)} = +\infty

\large \lim_{x\to +\infty}{(1-\frac{3}{5x^2}+\frac{1}{5x^3})} = 1-0+0 = 1

Par conséquent   \large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3-3x+1)}= (+\infty) \times 1 = +\infty.

Tu remarques par cette méthode que la parenthèse  (1-\frac{3}{5x^2}+\frac{1}{5x^3})  tend toujours vers 1.

Seul le terme pouvant donner la réponse finale est le terme  5x^3.

C'est la raison pour laquelle on peut écrire ceci :  

\large \lim_{x\to +\infty}{(5x^3-3x+1)}=\lim_{x\to +\infty}{(5x^3)} = 5\times (+\infty) = +\infty.

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 21:09

Ah merci beaucoup j'ai bien compris la démarche à suivre =)

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 21:11

Tu as compris que la démarche était analogue pour -.

La parenthèse tend toujours vers 1.

On calculera également la limite de (5x³)

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 21:23

Par contre une chose où j'ai vraiment du mal c'est comprendre la nuance du x+ et - dans les calculs ...

Mais la limx-(5x3)= - car si on multiplie 3 fois un nombre négatif il reste quand même négatif ?

Et pour l'autre moitié comme tu l'as dit ça tend toujours vers 1 donc pour x tend vers - on a:

limx-(5x3-3x+1)= -

Raisonnement juste ou quelque chose cloche ?

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 21:27

Tu as parfaitement compris...

Rien ne cloche...

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 21:30

Ok mais le fait de factoriser par le x qui a le plus grand exposant c'est un fait qui marche à tous les coups ou c'est juste un cas particulier ici ?

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 21:31

Mais plus tard, tu laisseras tomber les termes inutiles et tu ne considéreras que le terme du plus haut dégré en x.

Ici, c'est 5x³.

Tu ne parleras même plus de la parenthèse...

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 21:33

Citation :
Ok mais le fait de factoriser par le x qui a le plus grand exposant c'est un fait qui marche à tous les coups ou c'est juste un cas particulier ici ?
On utilise cette technique tout particulièrement pour les fonctions rationnelles (les polynômes, les fractions rationnelles,...), c'est à dire pour les fonctions qui n'utilisent pas les racines carrées, racines cubiques,...

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 21:55

Ah oui je vois merci

Mais par rapport aux fractions si je me retrouve avec f(x)= (x+1)/(x-1) si je multiplie en haut et bas par x+1 j'ai (x2+2x+1)/(x2-1).

Donc la limx1(f(x))=0

Et si x+ je me retrouve avec limx+= + car on a du positif en haut et en bas ?

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:04

Tu as un peu vite, là...

Pourquoi multiplies-tu par x+1 ?

Le calcul est direct !

On a  \large f(x) = \frac{x+1}{x-1}

\large \lim_{x\to 1}{(x+1)} = 2

\large \lim_{x\to 1,x > 1}{(x-1)} = 0^+

\large \lim_{x\to 1,x > 1}{f(x)} = [\frac{2}{0^+}] = +\infty



\large \lim_{x\to 1,x < 1}{(x-1)} = 0^-

\large \lim_{x\to 1,x < 1}{f(x)} = [\frac{2}{0^-}]= -\infty

Pour ceci, tu comprends ?

Je reviendra plus tard sur l'autre limite qui n'est pas correcte.

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:11

\large  f(x) = \frac{x+1}{x-1}

\large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x}} = 1

\large \lim_{x\to -\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to -\infty}{\frac{x}{x}} = 1

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:22

Oui je comprends on vient de voir cette notation de 1+ et 1-

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:24

On peut simplifier les 1 de cette façon ?

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:24

Alors, tu pourras traduire...

\large \lim_{x\to 1^+}{f(x)} = [\frac{2}{0^+}] = +\infty

\large \lim_{x\to 1^-}{f(x)} = [\frac{2}{0^-}] = -\infty


Et pour l'autre limite, tu veux des détails ?

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:25

Simplifier quels 1 ?

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:28

Pour x+ et - les 1 disparaissent c'est une règle des limites ?

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:30

Attends, je ne te suis pas...

Tu parles de quel post ?
De celui de 22h11 ?

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:34

Euh oui voilà.

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:35

Une seconde...

Je dactylographie le détail.
Mais le Latex est plus lent à transcrire

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:40

\large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{\cancel{x}(1+\frac{1}{x})}{\cancel{x}(1-\frac{1}{x})}} =\lim_{x\to +\infty}{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}} =\frac{1}{1}=1

Idem en -

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:40

Ok

Quel logiciel utilisez-vous pour mettre les calculs de cette façon plus propre ?

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:45

Le Latex.

Les balises sont situées en-dessous du cadre réponse (LTX) et si tu veux de l'aide, tu peux cliquer sur le qui se trouve dans la bande orange au-dessus de cette page.

Tu auras une belle aide.

Si tu cliques sur la maison, tu y es tout de suite   [lien]

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:48

Ah oui merci pour mes prochains post je me mettrai peut être à écrire comme ça, tout de suite plus jolie à voir.

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 22:52

Tu commences d'abord par des expressions simples (des fractions, des racines carrées...) et tu verras qu'avec un peu d'habitude, ce sera automatique et facile...

Il ne faut pas être distrait, seulement !

Heureusement, il y a l'aperçu pour vérifier  

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:00

Par exmple, pour le post de 22h40, tu mets ceci entre les balises du Latex.

\large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{\cancel{x}(1+\frac{1}{x})}{\cancel{x}(1-\frac{1}{x})}} =\lim_{x\to +\infty}{\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}} =\frac{1}{1}=1.

Tu peux essayer...

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:03

Oui ne pas être distrait

Ah oui l'aperçu jamais servi c'est peut être l'occasion

En tout cas merci pour toutes ces maths ça m'a permis de bien comprendre comment aborder ces limites qui me faisaient si peur

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:05

Oula qu'est ce que c'est que ça ...

Je connais pas toutes les commandes pour insérer une fraction ou autres ...

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:07

Oh, avec quelques "copier-coller", on gagne du temps en écrivant la formule...

Pour en revenir aux limites, tu as fini par comprendre la méthode rapide que j'ai utilisée ici ?

\large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x}} = 1

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:10

Factorisation par x au dénominateur et nominateur puis 2 simplifications et le tour est joué

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:13

Ce n'est pas ce que j'ai voulu faire dans le post précédent.

Je n'ai considéré que le terme du plus haut degré en x au numérateur et le terme du plus haut degré en x au dénominateur.

J'ai laissé tomber tout le reste... Pas de factorisation, etc...

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:15

J'ai bien dit que c'était une méthode rapide (et correcte!), mais la tienne par factorisation est la méthode classique !

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:16

Mais x et 1 ne sont pas au même degré dans ce cas ? Ou alors je n'ai pas compris pas la notion de degré ici.

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:18

C'est vous qui m'avez montré la méthode de factorisation, il ne faut pas le l'approprier même si c'est certain que l'autre je ne l'ai jamais vu.
Pour ça je ne sais pas si je vais l'utiliser lors de testes ...

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:20

Le numérateur est x+1.

Le terme du plus haut degré est   x


Le dénominateur est x-1.

Le terme du plus haut degré est   x

Donc, je ne considère que ces   "x"

On écrira donc :  \large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x+1}{x-1}} = \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x}}

Maintenant, il est évident que \large \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{x}} = 1  puisque   \frac{x}{x} = 1

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:22

OK...

Tu as alors intérêt à continuer avec la factorisation.

C'est la voie normale  

Posté par
almonacore : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:53

Oui tout à fait

Posté par
Hiphigeniere : Etude d'une limite 26-09-11 à 23:57

Bonne nuit !

Je vais aller     


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1715 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !