Bonsoir,

En traitant un sujet consistant à étudier différentes propriétés de dérivabilité de la fonction,
R : R -----> C définie par
J?ai rencontré quelques difficultés dans la partie consistant à démontrer la formule sommatoire de poisson.
Je viens donc solliciter votre aide ; l?énoncé figure ci-dessous. Je vous remercie d?avance pour vos retours.

On note l'espace vectoriel des fonctions continues et 2*(\pi)-périodiques de R vers C. Si u est un élément de C_2*(\pi), on pose:
pour tout p de Z.

On admet l'injectivité de cette fonction.

On considère également une fonction f: R -----> C continue et telle qu'il existe des réels strictement positifs C1 et C2 tels que :

|f(t)| <= C1/(t^2 + 1) pour tout t réel et |f^(x)| <= C2/(x^2 + 1) pour tout x réel où g est la fonction définie par f^(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-ixt} \, dt

On pose également pour x réel:


et:



1) Montrer que F et G sont bien définies, continues sur R et 2-pi périodiques.

2) Montrer que

3) Montrer que pour tout réel strictement positif a, on  a:



Précisions : je n'ai pas encore vu la notion de compact ou la définition des séries de Fourrier.

J'ai réussi la première question mais je n'arrive pas prouver l'égalité dans la 2). J'arrrive à trouver l'expression de c_p(F)=f^(p) mais je n'arrive pas à démontrer que c'est égal à c_p(G).