Bonjour perroquet,

  

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Un problème qui n'est pas inconnu sur l'   Limite de suite
  J'avais cherché à l'époque ... un petit moment...

  Je suis très intéressé par une solution moins "filandreuse"

Quelques commentaires:

L'exercice a été proposé dans le forum (niveau lycée) il y a quelques mois
Limite de suite

lake avait proposé une solution sans détailler les calculs (assez complexes).

Depuis, j'ai trouvé un certain nombre de résultats, que je me propose de vous faire découvrir. Il y aura plusieurs épisodes.

Une indication pour résoudre l'exercice.

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Soit l'unique solution strictement positive de l'équation  :       .
Montrer que  

Bonjour lake

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A l'époque, j'avais trouvé le même encadrement que toi, en remarquant qu'à partir d'un certain rang:

bonjour perroquet
merci  pour cet exercice ,avec   ton  indication  j'ai trouvé  facilement

Bonjour perroquet,

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Contrairement à veleda, je n'arrive pas à montrer que . Je tourne en rond avec la croissance de la suite ; quelque chose doit m'échapper...

Bonjour perroquet,

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Finalement, j'y suis parvenu en montrant que:

    1)  

    2)  

Le tout par récurrence.  Un peu laborieux ...

Bonjour lake,

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on peut considérer la fonction

Merci jandri,

  

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Oui, une récurrence où la seule "difficulté" est de montrer que

Bonjour,
@lake (et aux autres aussi ),

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Moi aussi je coince sur cette "difficulté"
Les guillemets sont à interpréter comment ?
C'est très facile, ou le contraire ?

Bonjour Sylvieg _{(et les autres!)}


  

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Mon message de 13h47 est un tantinet malhonnête :

   L'inégalité   semble vraie: je l'ai testée sur un tableur (pas sur une TI82 ) et lorsque j'ai posté à 13h47, je n'avais aucun doute: j'allais la prouver.

  Je suis en train de déchanter; entre autres, je m'étais mis en tête qu'il fallait passer par des expressions fonctions de avec d'une part et d'autre part.
  
   Je n'ai pas peur des calculs mais là, c'est infernal et je n'aboutis pas...

   J'ai fait d'autres tentatives qui n'ont pas abouti non plus.

   A vrai dire, avec mes guillemets, j'ai pêché par excès de confiance...

Au reste, je trouve cette suite extraordinaire au sens propre du terme!

Bonjour, lake et Sylvieg

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On peut en effet montrer que  

Voici le début de ma preuve.


Donc  

Et j'utilise ensuite les expressions de et en fonction de .

Bonjour perroquet,

  

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et merci! J'avais commencé exactement comme tu l'indiques à 23h32 et abandonné en cours de route.

  Je viens enfin d'aboutir:

     pour avec annulation pour

Merci perroquet, mais

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c'est ce que j'avais fait.
Une petite erreur de calcul que je viens de corriger. Mais ça ne m'inspire pas beaucoup plus...
En notant , je trouve D du signe de

Bonjour lake,
Bon, je vais insister plus tard quand j'aurais plus de temps

Bonjour Sylvieg ,

  

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Avec  

J'avais

Puis un numérateur:

  

  Positif pour

Bonjour à tous,

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Dans le post précédent, il  suffit de comparer les dénominateurs.

Une autre solution (qui n'est pas de moi) mais que je me permets de retranscrire avec les mêmes notations:

  On se propose de démontrer que avec

    ( est la racine positive de l'équation )

Soit

   puisque

   On a donc ce qui prouve que

  L'épisode 2 ne m'inspire guère...

Une variante de la démonstration précédente de lake qui ne fait pas intervenir dans les calculs.

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On introduit et on montre par récurrence que .
L'initialisation étant immédiate, on montre l'hérédité.
Avec la définition : .
De on déduit d'où
De on déduit d'où puisque .
Pour terminer est équivalent à puisque avec bijection de sur .

Bonsoir,
J'ai fini par y arriver !
Merci à jandri, perroquet et lake pour leurs indications