Niveau terminale

Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2

Posté par
Picarresur6 02-01-25 à 23:16

Bonjour,

Voici la première question de l'énoncé d'un exercice que je dois faire :

Citation :
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_1 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+2} = -\frac{1}{2}u_{n+1} + \frac{1}{2}u_n$ .

1. On cherche deux réels $\alpha$ et $\beta$ distincts tels que les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par $v_n = u_{n+1} - \alpha u_n$ et $w_n = u_{n+1} - \beta u_n$ soient des suites géométriques de raisons respectives $\beta$ et $\alpha$ .
a. Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont les solutions de l'équation $X^2 = -\frac{1}{2}X + \frac{1}{2}$ .

.

Ma méthode a été la suivante :
On remarque que
$-\frac{1}{2}v_{n+1}+\frac{1}{2}v_n = -\frac{1}{2}(u_{n+2}-\alpha u_{n+1}) + \frac{1}{2}(u_{n+1} - \alpha u_n) \\ = -\frac{1}{2}u_{n+2} + \frac{1}{2}u_{n+1} - \alpha(-\frac{1}{2}u_{n+1}+\frac{1}{2}u_n) \\ = u_{n+3} - \alpha u_{n+2} \\ = v_{n+2}$

Or $(v_n)$ est géométrique de raison $\beta$ . Il vient :
$\beta^{n+2}v_0 = -\frac{1}{2}\beta^{n+1}v_0 + \frac{1}{2}\beta^nv_0$

Il est clair que $v_0$ n'est pas nul car on aurait $u_1 = \alpha u_0$ soit $\alpha = 1$ et $(w_n)$ constante, et que $\beta$ non plus car on aurait $v_n = u_{n+1} - \alpha u_n = 0$ or $(u_n)$ n'est pas géométrique (un rapide calcul des termes suffisent pour établir ces faits).

En divisant donc de chaque côté par $\beta^nv_0$ , on a l'équation recherchée. On peut procéder de manière analogue pour $\alpha$ .

Seulement cette méthode est trop longue et il faut justifier que $\beta \neq 0,v_0 \neq 0$ . Il est donné comme indice :

Citation :
Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+2}$ et $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$ .

J'ai essayé avec cette méthode mais je n'ai pas réussi. Pourriez-vous m'aider ?

Posté par re : Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 02-01-25 à 23:52

bonsoir,

qu'as tu essayé ?

V_n+1 = U_n+2 - U_n+1

remplace U_n+2 par sa valeur, tu auras exprimé V_n+1 en fonction de U_n+1 et U_n.

sauras tu continuer ?

Posté par re : Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 03-01-25 à 09:48

Je crois avoir trouvé. On arrive à la relation :

$- \frac{1}{2}u_{n+1}+\frac{1}{2}u_n-\alpha u_{n+1} = \beta (u_{n+1} - \alpha u_n) \\ u_{n+1}(-\frac{1}{2} - \alpha) + u_n(\frac{1}{2} + \alpha\beta) = \beta u_{n+1}$

Par identification, il vient :

$\\ \begin{cases}\alpha + \beta = - \frac{1}{2} \\ \alpha\beta = - \frac{1}{2} \\ \end{cases} \\$

Et on arrive, par substitution, à l'équation recherchée pour $\alpha$ et $\beta$ .

Merci pour votre message sans lequel je n'aurais pas cherché davantage

Posté par re : Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 03-01-25 à 13:01

oui, très bien

moi j'avais fait ceci :
$v_{n+1}= - \frac{1}{2}u_{n+1}+\frac{1}{2}u_n-\alpha u_{n+1} = (-\frac{1}{2} - \alpha) ( u_{n+1} + \frac{\frac{1}{2} }{(-\frac{1}{2} - \alpha) } u_{n}  ) \\$

et en rapprochant de V_n = U_n+1 - U_n
et   V_n+1 =  q * V_n

j'arrive à   $\frac{\frac{1}{2} }{(-\frac{1}{2}  - \alpha) } =$ -

soit   ²  =  -1/2    + 1/2

et idem pour ..

Bonne journée.

Posté par re : Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 03-01-25 à 13:20

salut

on peut remarquer que :

$2 u_{n + 2} = -u_{n + 1} + u_n \iff 2u_{n + 2} - u_{n + 1} = -[2u_{n + 1} - u_n]$
et
$2 u_{n + 2} = -u_{n + 1} + u_n \iff 2[u_{n + 2} + u_{n + 1}] = u_{n + 1} + u_n$

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