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étude de conjecture sur les suites numériques

Posté par audreys (invité) 12-08-05 à 16:51

bonjour, voila l'énocé:
dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et justifier:
(1) une suite monotone est nécessairement monotone

(2) une suite positive, tendant vers 0, est necessairement décroissante à partir d'un certain rang

(3) une suite convergente est necessairement majorée et minorée

(4) si une suite (Un) vérifie:1/(n+1) =<Un=< 1-e-n alors elle converge

(5) si une suite (Un) vérifie: Un>n, elle est necessairement croissante

(6) si une suite (Un) vérifie: lim n-> infini    Un   = 0 alors cette suite converge
                                                      ln (n)
(7) si les 2 suite (Un+Vn) et (Un*Vn) convergent alors les suites (Un) et (Vn) convergent aussi.

(8) Si une suite Un vérifie lim n->infini n*Un = 1 est necessairement convergente.


j'ai pu répondre a quelques-unes de ces propositions:
(1) faux exemple les suites alternée (Pouvez vous me donner un  exemple de suites alternée?)

(3) faux, une suite majorée croissante converge
et une suite minorée décroissante converge

(4) on a lim n->infini 1/(n+1) = 0
et lim n->infini 1-e-n = 1
je sais pas si on peut en conclure que Un est convergente d'après le théorème des gendarmes.

pour les autres propositions je ne sais pas comment les démontrer.
merci pour vos réponses

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 17:09

(1) L'énoncé semble faux.

Tu cites les suites alternées comme un contre-exemple, mais tu demandes ce que c'est ?
C'est une suite qui change de suite à chaque terme, par exemple : (-1)^n ou (-1)^n/n

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 17:09

(2) A mon avis, FAUX.
Prends justement l'exemple d'une suite alternée.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 17:11

(3) "une suite convergente est necessairement majorée et minorée" ?
est VRAI : une suite convergente est bornée.

Tu dis : "faux, une suite majorée croissante converge
et une suite minorée décroissante converge"
C'est vrai, mais c'est justement le lien inverse dont l'énoncé parle.

En gros l'énoncé te dit : "est-ce que A => B ?"
Et tu réponds "non, car B => A".

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 17:14

(4) "si une suite (Un) vérifie:1/(n+1) =
Tu réponds : "4) on a lim n->infini 1/(n+1) = 0
et lim n->infini 1-e-n = 1
je sais pas si on peut en conclure que Un est convergente d'après le théorème des gendarmes."

En effet, on ne peut pas conclure. On peut juste dire que la suite est bornée à partir d'un certain rang.

Tu dois savoir qu'on ne peut pas utiliser le théorème des gendarmes, puisque ces hypothèses ne sont pas vérifiées : la partie gauche et la partie droite de l'encadrement ne tendent pas vers la même limite.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 17:15

(5) "si une suite (Un) vérifie: Un>n, elle est necessairement croissante" ?
est FAUX.

Si Un>n, on peut en déduire que n tend vers l'infini, mais pas qu'elle est croissante.

Exemple : n+2+cos(n)>n mais la suite (n+2+cos(n)) n'est pas croissante.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 17:17

(6) "si une suite (Un) vérifie: lim n-> infini Un/ln(n) = 0 alors cette suite converge" ?

FAUX.
Prends u_n=\sqrt{\ln(n)}
\frac{u_n}{\ln(n)} = \frac{1}{\sqrt{\ln(n)}} \to 0
Mais u_n ne converge pas (elle tend vers l'infini)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 17:19

(8) "Si une suite Un vérifie lim n->infini n*Un = 1 est necessairement convergente." ?

Je dirais VRAI. u_n est équivalente à l'infini à 1/n : elle converge vers 0

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 18:05

*le(7) est faux;
U_n=(-1)^n V_n=(-1)^{n+1}
*Attention Nicolas_75 ce que tu a dis dans ton post de 17:15 est vrai mais ton contre exemple est mal choisi puisque u_n=n+2+cos(n) est croissante (f(x)=x+2+cos(x) f'(x)=1-sin(x)\ge0)

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 18:08

Bonjour,

Nicolas_75 dans ton post de 17h19, tu parles d'équivalence à l'infini.Je doute qu'on puisse utiliser ce terme en Terminale.

Pour la (8) : On pourrait résonner par l'absurde non?

A plus

Posté par
cinnamonre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 18:27

Salut,
clemclem je pense que raisonner par l'absurde compliquerait les choses... Il suffit juste de remarquer (comme l'a fait Nicolas_75) que si \lim_{n\to +\infty} (n \times U_n) = 1 alors \lim_{n\to +\infty} U_n = \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=0...On ne parle plus d'équivalence comme ça (bien que ça revienne au même).

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 18:31

elhor_abdelali, autant pour moi !
Un contre-exemple est n/2+cos(n)

Posté par audreys (invité)re : étude de conjecture sur les suites numériques 12-08-05 à 19:32

merci pour toutes vos réponses


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