Inscription / Connexion Nouveau Sujet
étude de deux suites
Bonjour, voila j'ai un très long éxercice de maths et la je bloque à un peu moins de la moitié.
Au début on a deux suites
V(n)= [1+(1/1!)+(1/2!)+...+(1/n!)]
et T(n)=V(n)+(1/n!)
avec n supérieur ou égal à 1
On a montrer qu'elles était adjacentes.
on cherche alors leur limite commune mais pour cela on nous donne une fonction f(x) avec x appartenant à [0;1]
f(x)= [1+(x/1!)+(x²/2!)+...+(x^n/n!)]*e^-x
on a calculer f(0)=e^0 et f(1)=V(n)*e^1
Maintenant on nous demande de montrer que f est dérivable sur son intervale de définition et que
f'(x)=-(x^n/n!)*e^-x
et en déduire que pour tout n supérieur ou égal à 1, V(n) inférieure à exp().
Voila je bloque pour cette question.
Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider, ils m'épargnerons de nombreuses heures d'insomnie.
salut.
remarque : f(1)=V(n)*e^(-1) et non ce que tu as marque.
soit n dans N fixe.
la fonction f est le produit d'une fonction polynomiale et la fonction x->exp(-x)
elle est donc derivable sur son intervalle de definition.
soit Pn(x)=1+(x/1!)+(x²/2!)+...+(x^n/n!)
donc f(x)=Pn(x)*exp(-x)
f'(x)=[P'n(x)-Pn(x)]*exp(-x)
comme Pn(x)=1+(x/1!)+(x²/2!)+...+(x^n/n!)
P'n(x)=1+x+x^2/2+...x^(n-1)/(n-1)!
on peut l'ecrire comme ca :
P'n(x)=1+x/1!+...+x^(n-1)/(n-1)!=Pn-1(x)
or Pn-1(x)-Pn(x)=-x^n/n!
donc f'(x)=(-x^n/n!)*exp(-x).
pourquoi l'exo introduit il cette fonction f ?
pour l'etudier et notamment ses variations.
je rappelle que x est dans [0,1] et n>=1.
f'(x)=0 <=> x=0
f'(x)<0 <=> x dans ]0,1]
tu peux faire un tableau de variation de f sur [0,1] si tu veux.
conclusion la fonction f est strictement decroissante sur [0,1].donc pour tout x dans [0,1] f(1)=<f(x).
alors apres il faudrait que tu corriqes ton enconce.
tu as marque V(n) inférieure à exp().
qu'est ce qu'il y a dans () ?
si c'est V(n) inférieure à exp(1).
on a pour tout x dans [0,1] f(1)=<f(x)
donc f(1)=<f(0)
donc V(n)=<e^1
a+
Annuler
connectez vous