Bonjours a tous j'ai vraiment besoin de votre aide, mon professeur de math nous a donner un DM qui comptera essentiellement dans ma moyenne, c'est pour cela que je fait appel a vous :

Voici l'exercice (je vous demanderai une réponse détaillé s'il vous plait) :

On désigne f une fonction dérivable sur R et par f' sa dérivé .cette fonction vérifient les propriété suivantes :
(1) pour tout réel x (f''(x))²-(f(x))²=1
(2) f'(0)=1
(3) la fonction f' est dérivable sur R

1.a)démontrer que pour tous nombre réel x. f(x) 0
  b) calculer f (0)

2) en dérivant chaque membre de l'égalité (1) démontrer que : (4) pour tout nombre réel x , f''(x)= f(x),ou f'' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.

3 on pose u=f'+f et v=f'-f
a) calculer u (0) et v(0)
b) démontrer que u'=u et que v'=-v
c) en déduire les fonction u et v
d) en déduire que pour tout réel x,
           f(x)=(exp(x)-exp(-x))/2

4.a)étudier les limite de f en +oo et en -oo
  b) dresser le tableau de variation de la fonction f

5) soit m un nombre réel .démontrer que l'équation f(x)=m a une unique solution dans R


Je vous en remercie d'avance de votre aide, et de votre compréhension.
Votre cite ne ma toujours aidé et je voulait encor vous remercier !