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Etude de fonction
Bonjour j'ai un petit soucil dans un exercice..
f(x)=(exp(1/x))sqrt(x(x+2))
Les premiers questions sont domaine de définition, limites aux bornes, branche infinies, domaine de dérivabilité, exprimer la dérivée et donner les variations. tout cela est fait rapidement
Puis on me demande de donner la demi-tangente en -2 et j'arrive pas a calculer la dérivé en -2.
Ensuite on me demande de regarder sur quels intervalles la fonction est convexe et concave... je ferais bien f'' mais ca me parait lourd vu déja la dérivée...
Donc voila ce que je ne sait pas trop comment faire.
Sinon la dérivée je trouve (exp(1/x))(x-2)(x+2) au numérateur et x*sqrt(x(x+2)) au dénominateur si vous pouvez vérifiez ce qui me donne décroissant pour x<-2, décroissant entre 0 et 2 et croissant pour x>2
Merci beaucoup.
Pour calculer f ' je te conseille de regarder g = ln o f : ]-
, -2[ 
]0 , +[ 
.
Pour x 
]- , -2[ ]0 , +[ on a : g '(x) = f '(x)/f(x) = -1/x2 + (1/2)(1/x + 1/(x+2)) = (x2 - 2)x-2/(x + 2)
et g "(x) = f "(x)/f(x) - (f '(x)/f(x))2 = -2/x3 + (1/2)(1/x2 + 1/(x+2)2) donc le signe de f "(x) est celui de h(x) = (f '(x)/f(x))2 + 2/x3 - (1/2)(1/x2 + 1/(x+2)2)
Les calculs pour factoriser h ne me semblent pas insurmontables
ok merci ba c'est ce que j'ai fait pour la dérivée seconde... sinon pour la demi-tangente en -2 tu vois ce qu'il faut faire ou pas?
j'arrive pas a calculer la dérivé en -2.
Ce que tu dis laisse supposer que f est dérivable (à gauche) au point -2. Or tu n'en sais rien .
Tu regardes donc ce que fait (f(x) - f(-2))/(x - 2) lorsque x
-2 par valeurs inférieures ou encore R(t) = f(-2-t)/t lorsque t 0 par valeurs supérieures .
Comme f(-2-t)
(1/e)
2t , R(t) + (qd t 0+)
f n'est donc pas dérivable en -2 mais du point de vue dessin la courbe représentative de f présente une (demi)tangente verticale (!)au point (-2,0)
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