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étude de fonction
Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice, pourriez-vous m'aider:
Soit [t]f_n(x)=\Bigsum_{k=1}^nx^{n+k}/n+k[/t]
1) Soit[t] u_n=f_n(1)[/t]
a) Montrer que la suite [t](u_n)[/t] est croissante et majorée.
J'arrive à montrer qu'elle est majorée par 1 mais, je n'arrive pas à montrer qu'elle est croissante en faisant [t]u_{n+1}-u_n[/t]
b) Montrer que pour tout n de N, on a: 1/(n+1)<=ln(n+1)-ln(n)<=1/n
ça j'ai réussi avec le théorème des accroissements finis
c) En déduire que lim en +oo de [t]u_n[/t] =ln2
Je ne vois vraiment pas comment faire, je sais que[t] u_n[/t] est compris entre 1/2 et 1 et que ln 2 aussi mais je ne vois pas pourquoi ln 2 est la limite de cette suite
2) a) Montrer que [t]f'_n(x)=x^n(1-x)^n/(1-x)[/t] si x différent de 1 ou n si x=1
ça c'est bon, je l'ai fait
b) Montrer que , si n est pair: [t]f'_n(x)=x^n(1+x)(1+x^2+x^4+...+x^{2n-2})[/t]
j'ai réussi
c) En déduire les variations de [t]f_n[/t] et le nb de solutions de l'équation [t]f_n(x)=0[/t] (on distingue deux cas suivant la parité de n)
c'est bon si n est pair mais si n est impair, je ne sais pas comment faire
3) On suppose que 0<=x<1
a) Montrer que pour tout t appartenant à [0;x], [t] t^n<=f'_n(t)<=nt^n[/t]
c'est bon
b) En déduire, en utilisant le théorème des accroissemetns finis, que: [t]0<=f_n(x)<=xn^{n+1}[/t] Je ne vois pas sur quel intervalle, il faut que j'applique le théorème.
c) Calculer la limite lorsque n tend vers +oo de [t]nx^(n+1). [/t]. En déduire la nature de la suite [t]f_n(x)[/t] puis, si elle existe, la limite de [t]f_n(x)[/t] quand n tend vers +oo
Je n'arrive pas à calculer la limite de [t]nx^(n+1). [/t]
4)On suppose maintenant x>1
a) Montrer que [t]f_n(x)>=x^n/2[/t] je ne m'en sors pas pour le faire
b) En déduire la nature de la suite [t]f_n(x)[/t] puis si elle existe sa limite en +oo
avec l'inégalité précédente la suite tend vers +oo
Merci d'avance pour votre aide
Excusez, moi, je me suis trompée, je croyais que les balises tes de ce forum étaient simplement des [t], voici mon message plus clairement:
Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice, pourriez-vous m'aider:
Soit
1) Soit
a) Montrer que la suite est croissante et majorée.
J'arrive à montrer qu'elle est majorée par 1 mais, je n'arrive pas à montrer qu'elle est croissante en faisant
b) Montrer que pour tout n de N, on a: 1/(n+1)<=ln(n+1)-ln(n)<=1/n
ça j'ai réussi avec le théorème des accroissements finis
c) En déduire que lim en +oo de =ln2
Je ne vois vraiment pas comment faire, je sais que est compris entre 1/2 et 1 et que ln 2 aussi mais je ne vois pas pourquoi ln 2 est la limite de cette suite
2) a) Montrer que si x différent de 1 ou n si x=1
ça c'est bon, je l'ai fait
b) Montrer que , si n est pair:
j'ai réussi
c) En déduire les variations de et le nb de solutions de l'équation
(on distingue deux cas suivant la parité de n)
c'est bon si n est pair mais si n est impair, je ne sais pas comment faire
3) On suppose que 0<=x<1
a) Montrer que pour tout t appartenant à [0;x],
c'est bon
b) En déduire, en utilisant le théorème des accroissemetns finis, que: Je ne vois pas sur quel intervalle, il faut que j'applique le théorème.
c) Calculer la limite lorsque n tend vers +oo de . En déduire la nature de la suite
puis, si elle existe, la limite de
quand n tend vers +oo
Je n'arrive pas à calculer la limite de
4)On suppose maintenant x>1
a) Montrer que je ne m'en sors pas pour le faire
b) En déduire la nature de la suite puis si elle existe sa limite en +oo
avec l'inégalité précédente la suite tend vers +oo
Merci d'avance pour votre aide
j'ai mis là où je bloquais au fur et à mesure des questions
En cherchant bien et en reprenant mes calculs, j'ai tout réussi jusqu'à la question 2c mais là je bloque, pour le cas où n est pair, je sais que la dérivée est du signe de (1+x) mais je ne connais ni les limites ni la valeur en -1 de la fonction donc je n'arrive pas à trouver le nombre de solutions de l'équation fn(x)=0 et pour le cas où n est impair, je ne vois pas comment faire non plus.
Merci d'avance
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