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Etude de fonction

Posté par
LaMoonwalkeuse 16-11-14 à 15:35

Bonjour! J'ai cet exercice à faire, mais je rencontre une ou deux petites difficultés...
Merci à ceux qui m'aideront

Voici l'énoncé:
Soit $\large f(x)=xexp(\frac{2x}{x^2-1})$
1. Donner le domaine de définition $D_f$ de $f$ .
2. Donner les limites de $f$ et indiquer les éventuelles asymptotes.
3. (a) Calculer la dérivée de $f$ .
   (b) Montrer que le signe de $f'$ est donné par un polynôme de degrés 4 que l'on peut mettre sous la forme $(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$ , où a et b sont à déterminer.
   (c) Montrer les inégalités: $\large \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{2(1+\sqrt{5})}}{2}>1$ et $0$ $\large \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{2(1+\sqrt{5})}}{2}<1$

Ce que j'ai fait:
1. $D_f=$ \{-1;1}
2. J'ai réussi à trouver les limites en:
$-\infty=-\infty$
$-1^-=0^-$
$-1^+=-\infty$
$1^-=0^+$
$1^+=+\infty$
$+\infty=+\infty$
3. (a) $\large f'(x)=exp(\frac{2x}{x^2-1})(1-2x\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2})$
   (b) le signe de $f'$ dépend de $\large (1-2x\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2})$ car $\large exp(\frac{2x}{x^2-1})>0$
       donc le signe de $f'$ dépend donc de $x^4-2x^3-2x^2-2x+1$ .

A partir de la, je bloque pour la factorisation j'ai essayé par identification, mais je n'y arrive pas...

   (c) J'ai réussis à montrer que $\large \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{2(1+\sqrt{5})}}{2}>1$ , mais je n'arrive pas à montrer que $0$ $\large \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{2(1+\sqrt{5})}}{2}<1$ .

Voilà, encore merci à ceux qui pourront m'aider!

Posté par re : Etude de fonction 16-11-14 à 15:44

il fallait développer (x²-ax+1)(x²-bx+1) et identifier les coefficients avec ceux du polynôme pour trouver a et b.
x⁴-2x³-2x²-2x+1 = [x²-(5 +1)x+1][x²+(5-1)x+1]
essaye de faire le lien avec la question c) . Pense aux racines des polynômes qui constituent les deux facteurs et regarde si ça ne ressemble pas.

Posté par re : Etude de fonction 16-11-14 à 15:45

salut,
pour cela compare (-1+sqrt(5))^2 et 2*(1+sqrt(5))

Posté par re : Etude de fonction 16-11-14 à 15:46

desole j'ai repondu à la derniere question

Posté par re : Etude de fonction 16-11-14 à 16:03

Merci! pour la 3. (b), c'est ce que je fessais, mais je trouver deux solutions différentes pour a...

Posté par re : Etude de fonction 16-11-14 à 16:18

Je n'arrives pas à retrouver le résultat de la 3. (b)...
Le signe devant b doit être négatif.

J'ai développé l'équation $(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)=x^4-(b+a)x^3+(2-ab)x^2-(a+b)x+1$
Et je sais que le signe de $f'$ dépend de $x^4-2x^3-2x^2-2x+1$

Par identification, on a:
$\large \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} b+a & 2\\2-ab & -2 \\ \end{array} \right$
$\large \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} b & 2-a \\ 2b-b^2 & 4 \\ \end{array} \right$

Et là, il y a quelque chose qui ne va pas, mais je ne sais pas quoi.

Posté par re : Etude de fonction 16-11-14 à 16:19

Pardon, c'est $\large%20\left%20\lbrace%20\begin{array}{r%20@{%20=%20}%20l}%20a%20&%202-b%20\\%202b-b^2%20&%204%20\\%20\end{array}%20\right$

Posté par re : Etude de fonction 16-11-14 à 16:34

le coefficient de x² c'est plutôt 2+ab
ensuite, trouver deux nombres a et b connaissant leur somme S et leur produit P c'est résoudre X²-SX+P=0 donc ici X²-2X-4=0
et on trouve bien 15 comme solutions.

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