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Étude de fonction

Posté par
Theoremetjlhe 02-11-16 à 10:15

Bonjour pour un dm on a une fonction d défini par f (0)=0 et f (x)= 1/sîn (x) - 1/x si x différent de 0
Il faut montrer que f est dérivable en 0
Étudier les variations de f sur -pi; pi
Et montrer que f' eest continue sur -pi pi
Pour l'instant ces questions restent insolubles

Posté par
luzakre : Étude de fonction 02-11-16 à 10:48

Bonjour !
Tu n'as aucune autre question ?
Pour un sujet de Terminale, c'est étonnant.

N'y aurait-il pas une question demandant de démontrer l'encadrement 0\leqslant x-\sin x\leqslant\dfrac{x^3}3 ?
Ou cet encadrement figure-t-il dans tes connaissances ?

Faute de ce renseignement impossible de t'aider !

Posté par
Theoremetjlhere : Étude de fonction 02-11-16 à 11:01

Oui à la première partie de l'exo on nous demande de prouver que -x^3/6 <sin <x^3/6 + x^5/120 et ils nous demandent la limite lorsque c tend vers 0 de (sin (x)-x)/x^3

Posté par
Theoremetjlhere : Étude de fonction 02-11-16 à 11:06

luzak
En quoi cet encadrement peut il m'aider ?

Posté par
luzakre : Étude de fonction 02-11-16 à 11:30

Cela devient plus abordable ! Mais tu as des erreurs dans la recopie (sic )

Citation :
-x^3/6 <sin <x^3/6 + x^5/120
de ton encadrement : il doit y avoir \sin x-x au milieu et un - devant le x^3 du dernier terme.

Voici la méthode, corriges si j'ai laissé des erreurs de signe...
La dérivation en 0 consiste à chercher la limite en 0 de \dfrac{f(x)-f(0)}x soit de \dfrac{x-\sin x}{x^2\sin x}.
Avec ton encadrement tu auras facilement \dfrac{\frac{x^3}6-\frac{x^5}{120}}{x^2\sin x}\leqslant\dfrac{x-\sin x}{x^2\sin x}\leqslant\dfrac{\frac{x^3}6}{x^2\sin x} et connaissant la limite de \dfrac{\sin x}x tu trouveras la dérivée.

Le même encadrement te servira aussi à montrer la continuité de f' en 0 (il faut la calculer pour x\neq0 puis chercher si la limite est bien la dérivée trouvée en 0)

Posté par
Theoremetjlhere : Étude de fonction 02-11-16 à 11:37

Oui l'encadrement était
x-x^3/6<sin (x)<x-x^3/x+x^5/120
Merci infiniment

Posté par
Theoremetjlhere : Étude de fonction 02-11-16 à 11:58

Pour le signe de la dérivé on fait comment ?

Posté par
luzakre : Étude de fonction 02-11-16 à 15:59

La fonction est impaire : étude sur [0,\pi] suffit.
Pas besoin de dérivée sur [\pi/2,\pi] : somme de fonctions croissante.

La dérivée, pour x\in]0,\pi] estt f'(x)=\dfrac{-\cos x}{\sin^2x}+\dfrac1{x^2}  et on voit bien qu'elle est positive sur [\pi/2,\pi] et que sur ]0,\pi/2] elle  a même signe que u(x)=\dfrac{\sin^2x}{\cos x}-x^2 : pour a>0,\;b>0,\;\dfrac1a-\dfrac1b  a même signe que b-a.

Le mélange de fonctions polynôme et trigonométrique n'est pas simple.
On va essayer d'étudier les variations de u pour avoir son signe.
Ici une parenthèse : je n'aime pas (question d'expérience) utiliser la formule de dérivation du quotient et je traite \dfrac uv comme u(v)^{-1}.
Je dis çà au cas où (mais c'est fortement conseillé) tu voudrais faire aussi les calculs de dérivée.

u'(x)=2\sin x+\dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}-2x.

Toujours un mélange qui ne me plaît pas, je dérive encore : u''(x)=2\cos x+\dfrac{3\sin^2x}{\cos x}+2\dfrac{\sin^4x}{\cos^3x}-2
Il n'y a plus de mélange, espoir !

u''(x)=\dfrac{2\cos^2x+3\sin^2x-2\cos x}{\cos x}+2\dfrac{\sin^4x}{\cos^3x}=\dfrac{2+\sin^2x-2\cos x}{\cos x}+2\dfrac{\sin^4x}{\cos^3x}

et c'est gagné car (on est sur \Bigl[0,\dfrac{\pi}2\Bigr]) donc \cos x\geqslant0,\;2-2\cos x\geqslant0 donc \forall x\in\Bigl[0,\dfrac{\pi}2\Bigr]u''(x)\geqslant0
Ainsi u' est croissante et u'(0)=0 donc u' positive sur l'intervalle.
Puis u est croissante et u(0)=0 donc u positive sur l'intervalle.

Finalement, f est croissante sur [-\pi,\pi].

Posté par
Theoremetjlhere : Étude de fonction 02-11-16 à 21:33

Un peu complexe tout de même. Merci beaucoup!

Posté par
luzakre : Étude de fonction 02-11-16 à 22:46

C'était TON exercice ! J'ai fait ce que j'ai pu pour rester compréhensible en terminale.
Mais tu aurais peut-être d'autres dépannages plus faciles à comprendre.

Complexité ne veut rien dire ! Parles plutôt de manque d'habitude.
Je te répète que tu devrais reprendre ce que j'ai dit, en faisant les calculs à ta manière et à ton rythme, en essayant de ne pas travailler trop machinalement. C'est comme çà qu'on apprend !


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