Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Sujets de bacTopics traitant de sujets de bac [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Etude de fonction

Posté par
infophile 16-07-06 à 10:30

Bonjour

Exercice 1 du sujet de bac suivant : Bac S - Session de remplacement - Septembre 2005

Partie A

Soit 4$ f la fonction définie sur l'intervalle 4$ ]0;+\infty[ par 4$ f(x)=(20x+10)e^{-\frac{1}{2}x}

1) Etudions la limite de la fonction 4$ f en +\infty :

4$ \fbox{lim_{x\to +\infty}20x+10=+\infty

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:31

Oh zut je me suis trompé de bouton , je continue...

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:35

4$ \fbox{\lim_{x\to +\infty}-\frac{1}{2}x = -\infty}

4$ \fbox{\lim_{x\to +\infty}e^{-\frac{1}{2}x}=0}

5$ \red \fbox{\lim_{x\to +\infty}f(x)=0}

C'est bien ça ?

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:39

Salut info

Va voir ici :



A+
romain

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:43

2) J'étudie les variations de 4$ f :

4$ \fbox{f'(x)=20e^{-\frac{1}{2}x}+(20x+10)e^{-\frac{1}{2}x}\times -\frac{1}{2}

4$ \fbox{f'(x)=e^{-\frac{1}{2}x}(20x+30-\frac{1}{2})

5$ \blue \fbox{f'(x)>0}

On en déduis que 4$ f est strictement croissante sur son ensemble de définition.

C'est bon ?

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:43

J'ai l'impression que quand on clique sur la maison, ça ne marche pas

Je te met donc le lien ici :

http://www.ac-bordeaux.fr/APMEP/Fichier%20annales/dossier%20S/dossier%202006/CorrigeFranceSsept2005.pdf

Bonne journée
romain

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:44

Merci lyonnais !

Je crois qu'il y a des erreurs

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:45

Oui c'est ce que j'allais dire

Il y a un problème au niveau de la dérivée pour la question 2°)

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:46

Je ne trouve pas la même dérivée

Tu peux m'aider romain ?

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:48

2°)

4$ \fbox{f'(x)=20e^{-\frac{1}{2}x}+(20x+10)e^{-\frac{1}{2}x}\times -\frac{1}{2}

donc :

4$ \fbox{f'(x)=e^{-\frac{1}{2}x}(20-\frac{1}{2}(20x+10))

soit :

4$ \fbox{f'(x)=e^{-\frac{1}{2}x}(-10x+15)

Tu es d'accord ?

Romain

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:49

J'ai utilisé :

4$ \fbox{f=u\times v \Longrightarrow f'=u'v+uv'}

ainsi que :

4$ \fbox{(e^{u(x)})'=e^{u(x)}\times u'(x)}

C'est pas ça ?

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:50

Bien sûr...

Je ne sais même plus factoriser la honte

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:50

SiSi  

Tu as juste mal simplifiée ta dérivé !

Ta première ligne est bonne

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:51

Citation :
Bien sûr...

Je ne sais même plus factoriser la honte

Mais nan

Ce sont des choses qui arrivent !

Romain

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:51

Merci romain je vais continuer avec ton corrigé

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:53

Ok ça marche Kevin.

N'hésites pas si quelque chose te gène ... je repasserais de temps en temps et puis, il y a aura bien quelqu'un pour t'aider au pire !!

Bonne aprem

Posté par
jacqlouisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:53

    Bonjour. Profitons-en , pendant qu'il n'y a personne !
    D'un côté tu écris :  lim(20x+10) = + infini
et ensuite :          lim[exp(-1/2*x))] = 0
    Tout cela est juste . Mais pourquoi le produit serait 0 ?
C'est exact également, mais il reste à le prouver . Courage !  J-L

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:53

Tu n'aurais pas de bons exercices sur les exponentielles/logarythmes à me proposer ?

J'avais reçu ton message pour ma fête mais je n'ai pas pu y répondre, je te remercie

Kévin

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 10:55

>> J-L

Car la limite d'une fonction composée par produit (ça se dit ? ) est le produit de la limite de chaque produit

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 10:58

Oui Kevin, mais c'est faux

J-L a raison de mettre ce point en avant ...

4$ 0\time (+\infty) est une forme indéterminée !!

Procède comme dans le corrigé pour trouver le limite.

Je vais essayer de te trouver des exos

et désolé de ne pas avoir pu être présent à ta fête : j'espère que c'était bien !

Romain

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 11:01

Mathématiquement cela s'écrit :

Soit k une quelconque fonction tel que :

4$ \fbox{k(x)=f(x)\times g(x)}

Si 4$ \fbox{\lim_{x\to +\infty}f(x)=l} et 4$ \fbox{\lim_{x\to +\infty}g(x)=l'},

alors :

5$ \magenta \fbox{\lim_{x\to +\infty}f(x)=l\times l'}

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 11:01

Ah zut je ne me souvenais plus que c'était une forme indéterminée...

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 11:03

Voila ce que j'ai pu trouver sur ce bon site :


exo sur exponentielles :


exo sur logarithmes :


J'espère que ça t'aidera !

Romain

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 11:03

Merci de votre aide

Posté par
jacqlouisre : Etude de fonction 16-07-06 à 11:03

    Oui, cela va sans dire, ...mais cela va mieux en le disant !
Mais est-ce que cela suffit ? (moi, je me dis : l'exponentielle l'emporte sur la fonction affine... mais cela ne suffit pas non plus !).
    Quant à ta dérivée, il y avait une erreur, mais tu l'as vue.  J-L

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 11:04



PS : je dirais plutôt  5$ \magenta \fbox{\lim_{x\to +\infty}k(x)=l\times l'}

Les liens marchent-ils

Parce que chez moi ça ne marche pas

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 11:05

Ok merci romain je vais travailler un peu tout ça !

Je parlais de la St Kévin, le 3 juin , mais oui le festival s'est bien passé, c'était simpa

Bonne après-midi à vous deux

Kévin

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 11:06

Oui bien sûr je voulais marqué k(x) et pas f(x)

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 11:07

Les liens fonctionnent bien

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 11:07

Je sais  

Bonne après-midi

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 11:08

Citation :
Les liens fonctionnent bien

Ok, donc c'est au niveau de mon pc que se trouve le problème ... je vais voir ça !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Etude de fonction 16-07-06 à 11:46

Bonjour Infophile,

Une petite fiche sur les indéterminations.

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\displaystyle\frac{\cos{x^2}-1}{x^2}=\frac{\cos{x^2}-\cos 0}{x^2-0}\to \cos '0=-\sin 0=0

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hospital
Théorème. Soit a un point d'un intervalle I non réduit à a. Soient f et g deux fonctions définies sur I\setminus\{a\} (et même éventuellement sur I tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de I\setminus\{a\}. Si :
(i) f et g admettent la même limite, finie ou infinie, en a, et
(ii) g' ne s'annule pas sur I\setminus\{a\},
alors il existe un voisinage V de a tel que g ne s'annule pas sur V\cap I\setminus\{a\}, et, sous réserve d'existence de la limite de droite :
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
Dans le cas où a serait l'extrémité gauche (resp. droite) de I, ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).
(merci à Tigweg pour l'aide précieuse apportée à la formulation de ce théorème )

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : Etude de fonction 16-07-06 à 11:53

Bonjour à tous

Nicolas> j'ai peut-être mal compris mais je crois qu'il y a un problème.

En effet, si je prends \Large{f(x)=x^{2}} et \Large{g(x)=x} et qu'on regarde la limite en 1, l'égalité des limites n'est pas vérifiée.
En fait, je crois, que les seuls cas où ça marche c'est lorsque l'on a affaire à une forme indéterminée du type \Large{\frac{0}{0}} ou \Large{\frac{\pm \infty}{\pm \infty}}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Etude de fonction 16-07-06 à 11:54

Bien sûr, je parlais de la règle de L'Hospital.

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 12:12

Merci beaucoup Nicolas_75

J'ajoute à mes favoris

Bonjour Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Etude de fonction 16-07-06 à 12:14

Bonjour infophile !

Posté par
lyonnaisre : Etude de fonction 16-07-06 à 12:36

>> Kevin

Dans le même genre ( topic dans me favoris et bientôt dans les tiens )
Méthode pour les limites

C'est un vrai concours entre Nicolas et Jord !

Romain

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 12:42

Tu ne t'es pas trompé il est maintenant dans mes favoris

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Etude de fonction 16-07-06 à 13:29

Et Jord a gagné !

Posté par
infophilere : Etude de fonction 16-07-06 à 13:31

Il a du mettre un temps fou à tout rédiger au LateX

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Etude de fonction 16-07-06 à 13:32

Merci pour ta remarque, kaiser.

Je reformule :
(7) [hors programme] Règle de L'Hospital
Théorème. Soit a un point d'un intervalle I non réduit à a. Soient f et g deux fonctions définies sur I\setminus\{a\} (et même éventuellement sur I tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de I\setminus\{a\}. Si :
(i) f et g tendent toutes deux vers 0 ou toutes deux vers l'infini en a, et
(ii) g' ne s'annule pas sur I\setminus\{a\},
alors il existe un voisinage V de a tel que g ne s'annule pas sur V\cap I\setminus\{a\}, et, sous réserve d'existence de la limite de droite :
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
Dans le cas où a serait l'extrémité gauche (resp. droite) de I, ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).
(merci à Tigweg pour l'aide précieuse apportée à la formulation de ce théorème )

Posté par
kaiser Moderateurre : Etude de fonction 16-07-06 à 13:34

Je t'en prie, Nicolas !

Posté par Romaths (invité)re : Etude de fonction 16-07-06 à 15:08

salut,

question 1 :"0 x +" <== forme indéterminée on ne peut donc conclure !!

On utilise ce qu'on le critère des croissances comparées je crois en terminale, en fait ici il est clair que l'exponentielle "l'emporte" sur les puissances de x. Mais c'est vraiment une grosse bêtise de mettre ce que tu as mis donc attention à la rédaction!

a+


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !