Bonjour,
1) Est ce que la fonction est positive uniquement sur [-1, 1] ?

Le calcul de la dérivée me semble juste en revanche.

bonjour

pensez à préciser le domaine de dérivabilité de la dérivée.

la dérivée peut être simplifiée pour étude de son signe :
mettre le numérateur sur dénominateur commun et simplifier.

1)
x³ + x² s'annule en -1 et 1 ---  attention c'est faux : pour x=1, x³ + x = 2

* x³ + x² = 2

bonjour

l'ensemble de définition est faux ...

il s'agit bien de la fonction     ?

on remarquera que cela s'écrit aussi

peut -t-on remplacer ( x³ +x²) 0  par x²(x+1) 0 ?

ben évidemment, ce n'est qu'une factorisation par x² ... qui est toujours positif ou nul lui

Si j'utilise x²(x+1)/(x-1)
domf = ]-;-1[]1;+[

non

tu as oublié la racine ...

comme x^20




est définie ssi

x+10
et
x-10

tu vas trouver un ensemble de définition qui n'est pas symétrique par rapport à 0, donc la notion même de parité ne se pose pas.

par contre, pour la dérivabilité, comme la racine carrée n'est pas dérivable en 0, les théorèmes d'opération sur les dérivée imposent :
x²(x+1)>0

en 0 et -1, où elle est définie, il faudra regarder "à la main" si elle est dérivable

Bonjour,

Si je reprends:

1) domf: = {x tel que x³+x² 0 et x-1 0}


  le domaine de défininitiobn est: [-1;1[]1;+[

tu peux déjà calculer la dérivée sur ]-1 ; +[-{0;1}

f'(x)= [x3+x²)/(x-1)]'  ?

m'enfin !

l'énoncé que tu as posté c'est  

il y a une racine ou pas ?

au début dans l'énoncé j'avais écrit:f(x) =

en factorisant c'est devenu:

f(x) =

donc la dérivée est: f'(x) = '

donc voilà, c'est ça qu'il faut dériver

dans un premier temps, il est plus aisé de le dériver comme un produit :



et réduire au même dénominateur ensuite.

( ' * (x-1) -* (x-1)')/(x-1)²

[*1]/(x-1)²

                                                    

ok je refais avec f'(x) = ((x²(x-1)) * 1/x-1]'


[(x²(x+1)]' * 1/x-1 + (x²(x+1)) * [1/x-1]'

= [x²(x-1)]'/2(x²(x+1)) *1/x-1 + (x²(x-1)) * [-(x+1)/(x-1)²]'

= (2x³+x²)/(2(x²(x+1))* 1/x-1  + (x²(x+1) * (-1)/(x-1)²


= (3x²+2x)/2(x²(x+1)) * 1/x-1  + (x²(x+1)) * (-1/(x-1)²)

  voilà, j'espère que c'est assez clair

je ré-écris en Latex pour que ce soit plus clair :



c'est bien ça ?

oui

ce calcul n'est valable que sur ]-1 ; +[-{0;1}

pour pouvoir étudier son signe, réduis au même dénominateur

Je ne sais pas si c'est comme ça qu'il faut faire:



=

=

attention :



repars du début et réduis au même dénominateur...

et f'(x) est du même signe que son numérateur

Bonjour,

Je vais bien finir par y arriver.




  (3x²+2x(x-1)²) /2(x-1)x³+x²(x-1)²-(x³+x²)2(x-1)x³+x²)/(x-1)²2(x-1)(x³+x²)

(3x²+2x(x-1))/2(x-1)²(x³+x²) - (x³+x²-2x+2)/2(x-1)²(x³+x²)

Est-ce juste jusqu'ici?

difficile à lire sous cette forme (mais cela me semble faux)

t ça donne:(x³ -5x²+2x-2)/2(x-1)²-x³+x²

non

(3x²+2x)(x-1)  ça fait : 3x³-x² -2x

oui

f'(x) =(x³-3x²-2x)/2(x-1)²x³+x²

oui

avec parenthèses pour le dénominateur

donc f'(x) a le même signe que son numérateur... à toi de l'étudier sur l'ensemble de définition

ensuite, ce que je te propose :

>> Etudier la dérivabilité en -1 et 0 où cette fonction est définie, mais pas le calcul de dérivée fait précédemment. Pour cela on pourra simplement étudier les limitées de f'(x) quand x tend vers 0 ou -1

>> étudier les limite de f en 1 et à l'infini

>> dresser un tableau de variation complet de cette fonction.

f'(x) = (x³-3x²-2x)/(2(x-1)²(x³+x²)
  
  pour le numérateur: x(x²-3x-2)  x=0  et 17

x₁= (3-17)/2 soit -0,56 et x₂ = (3+17)/2, soit 3,56


2(x-1)² 1
x³+x²  s'annule en -1 et 0

x	-1		-0,56		0		1		3,56
x	-	-	-	-	0	+	+	+	+	+
x²-3x-2	+	+	0	-	-	-	-	-	0	+
2(x-1)²	+	+	+	+	+	+	0	+	+	+
(x3+x²)	0	+	+	+	0	+	+	+	+	+
f'(x)	X	-	0	+	X	-	X	-	0	+

salut,
à toutes fins utiles voici ce que renvoie Xcas

fanfan56

ton tableau de signes de f' est bon

appelle a et b les deux racines tordues de f', ce sera plus simple

pour simplifier tu peux remarquer que



et que



cela permet de simplifier un peu l'expression de f'(x) :

pour x ]-1 ; 0[ :  

pour x ]0 ; 1[]1 ; +[ :  

pour la dérivabilité en -1 et 0, il suffit de calculer les limites de ces expressions.

je pense que passer par les limites de f' ne peut etre utilise en terminale puisque aucun theoreme ne permet de le justifier

alb12
voir le profil de fanfan56...
c'est une reprise d'étude.
de toutes façon je doute qu'actuellement on demande l'étude de ce genre de fonction en terminale

c'est elle qui verra mais ici la limite du taux d'accroissement f(x)/x est immediat

Bonjour et merci

Pour la dérivée f''(x)

[(x³ -3x² -2x) /(2(x-1) ² (x³ +x² )]'

Après une succession de dérivées : (r. f) '; (f/g)' ;(f. g) ' ; (fⁿ)' et (f) ' je suis arrivée à:

1 /2.(3x² -6x-2).(x-1)² (x³ +x² -(x³ -3x² -2x). 2(x-1). [(3x² +2x)/2(x³ +x² )]

Le tout sur [(x-1) ² (x³ +x² l] ²

on n'a pas fini l'étude de la dérivée... il reste le problème en 0 et -1

en passant par les taux d'accroissement, comme le dit alb12, c'est vrai que ça va assez vite aussi. Mais bon , puisque l'expression de la dérivée est pas mal simplifiée (voir 09:58) c'est rapide aussi.

pour la dérivée seconde, on verra ensuite

avec la première expression, vers quoi tend f'(x) quand x tend vers -1 ?

Quand f'(x) tend vers-1, il tend vers-

Je ne maîtrise pas bien les limites

oui, que peut-on en conclure graphiquement ?

(je te laisse poursuivre alb12 )

On peut dire qu'elle est continue ?

fanfan56 :

on est en train d'étudier la dérivabilité, donc c'est la notion de tangente à la courbe (la dérivée est la pente de la tangente)

si la dérivée (ou le taux d'accroissement) tend vers l'infini, c'est qu'elle n'est pas dérivable en -1, par contre la courbe présente au point (-1;0) un tangente verticale (pente infinie)

pour l'étude en 0, tu peux reprendre les simplifications proposées à 09:58 ce matin.

tu peux alors calculer les limites de f'(x) en 0 à gauche ou a droite et voir vers quoi cela tend.

tu verras que les deux limites sont différentes et qu'elle n'est pas dérivable, mais qu'il y a au point (0;0) de la courbe une demi-tangente à gauche et une à droite.