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étude de fonction

Posté par
yeojin
18-11-21 à 08:05

Bonjour, je suis bloqué à partir de la question 4, pouvez-vous m'aider

Soit f la fonction définie sur R\{-1} par \frac{2x+1}{x+1}. On pose un=1,5 et pour tout n ∈ N, un+1= f(un)

1. dresser le tableau de variations de f sur [1;2]


j'ai calculé les limites et j'ai toujours trouvé 2.

x              -oo.                 -1.                  +oo
f'(x).                       +.           ||.               +
f(x).         2.                       2||2.                 2

(je n'arrive pas à mettre des flèches, mais la fonction est croissante)
2. démontrer que, pour tout x ∈ [1:2], f(x)∈[1;2]

sur [1;2]
x.       1.                           2
f(x).         1.                            2

(avec une flèche croissante)
f(x)\leq2
si 1\leqx\leq2
f(1)\leqf(x)\leqf(2)
1\leqf(x)\leq2
donc f(x) E [1;2]

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a un E [1;2]


Initialisation pour n=0
u0=1,5 donc u0 E [1;2]
La propriété est vrai au rang 0
Hérédité
On suppose qu'il existe un entier k\geq0 tel que uk E [1;2], d'après la question 2, uk+1 E [1;2]
La propriété est héréditaire.

4) Étudier les variations de la suite un

après avoir fait un+1-un j'ai trouvé \frac{-un^2+un+1}{un+1} je ne sais pas comment l'étudier

5) En déduire la convergence de (un) et déterminer sa limite

Posté par
malou Webmaster
re : étude de fonction 18-11-21 à 08:16

Bonjour yeojin

1) revois tes limites à gauche et à droite de -1
c'est ça qui ne va pas

Posté par
yeojin
re : étude de fonction 18-11-21 à 08:30

\lim_{x->-1 avec x>-1} f(x) = -oo
\lim_{x->-1 avec x<-1} f(x) = +oo ?

Posté par
malou Webmaster
re : étude de fonction 18-11-21 à 09:00

c'est au petit bonheur la chance ?

comment tu nous démontres cela ?

Posté par
yeojin
re : étude de fonction 18-11-21 à 09:10


pour x>-1
\lim_{x->1} (x+1) = 0+ \\  \lim_{x->1} (2x+1) = -1 \\ \lim_{x->1} f(x) = -oo
pour x<-1
 \lim_{x->1} (x+1) = 0-  \\ \lim_{x->1} (2x+1) = -1 \\ \lim_{x->1} f(x) = +oo

Posté par
malou Webmaster
re : étude de fonction 18-11-21 à 09:15

c'est bon !

Posté par
yeojin
re : étude de fonction 18-11-21 à 09:24

Ok merci de m'avoir corrigé , mais je bloque toujours à partir de la question 4 /:

Posté par
malou Webmaster
re : étude de fonction 18-11-21 à 09:36

f(1) ne vaut pas 1

4) que vaut u1 ?
tu peux faire un raisonnement par récurrence pour montrer que la suite est croissante, c'est ultra rapide et facile

Posté par
yeojin
re : étude de fonction 18-11-21 à 09:58

u1 vaut 1,5 comme u0, ça montre qu'elle est constante là pas croissante

Posté par
malou Webmaster
re : étude de fonction 18-11-21 à 10:42

non, il ne vaut pas 1,5...

Posté par
hekla
re : étude de fonction 18-11-21 à 10:44

Bonjour

juste de passage

Citation :
dresser le tableau de variations de f sur [1;2]


Pourquoi les limites ?

Posté par
malou Webmaster
re : étude de fonction 18-11-21 à 10:52

Bonjour Hekla
il me semble qu'elles seront bien pratiques pour la suite de l'exo

Posté par
hekla
re : étude de fonction 18-11-21 à 11:13

Il me semble pourtant que tout se passe entre 1 et 2

Posté par
yeojin
re : étude de fonction 18-11-21 à 11:17

c'est u1 = 1,6 pardon merci

Posté par
malou Webmaster
re : étude de fonction 18-11-21 à 11:43

hekla @ 18-11-2021 à 11:13

Il me semble pourtant que tout se passe entre 1 et 2


oui, tu as raison...je n'avais pas bien lu

yeojin, oui, OK
donc maintenant une récurrence est hyper simple



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