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etude de fonction

Posté par
aya4545 06-01-22 à 21:07

salut
j ai besoin d aide pour terminer cet exercice
f(x)=\frac{1}{1-xe^{-x}}
1) etudier les variations de f
2) montrez que \forall x \in \R^+ \quad 1\leq f(x)\leq \frac{e}{e-1}
3) justifier que g(t)=tf(t) admet une primitive Gsur \R^+ qui verifie G(0)=0
4)F definie sur \R^+ par :F(x)=G(ln(x)) si x>= 1 \\ F(x)=G(-ln(x))   si 0<x<1
a)montrer que F(x)=F(\frac1x)  \quad  \forall x \in ]01[
b)etudiez  les variations de F sur[1\infty[  puis déduire le sens de variation de F sur]01
c)montrer que \forall x \in  [1 +\infty[ \quad \frac12ln^2x\leq F(x) \leq \frac{e}{2(e-1)}ln^2x
d) etudier la derivabilité de F en 1
e) calculer limF(x) en +\infty et lim \frac{F(x)}{x}
en   +  \infty  

Posté par
lakere : etude de fonction 06-01-22 à 21:21

Bonsoir,
Tu pourrais tout de même nous dire où ça coince et ce que tu as fait avant.

Posté par
aya4545re : etude de fonction 06-01-22 à 21:42

ce que j ai fait
1)f definie sur \R une etude \phi(x)=1-xe^{-x} montre  \phi(x)>0
f decroissante sur ]-oo 1] croissante sur [1 +oo[
2)facile a partir des variations de f
3) g continue  sur R+
a) facile
b)F'(x)= ln(x)'G'(ln(x)=\frac{ln(x)}{x-lnx}>=0 donc F est croissante sur [1 +oo[
soit x dans ]01[ alors 1/x >1 donc F'(x) =F'(1/x)= -xlnx/(1+xlnx) >0
mais le probleme c est que Fest decroissante sur ]0 1[ je ne sais pas ou est l ereur
c) jai des problemes  j ai utilisé 2) et apres integrer  de 0 à x mais je n arrive pas a recuperer le logarithme
j ai encore des problemes dans d) et merci

Posté par
lakere : etude de fonction 06-01-22 à 21:43

Bien, je fais une petite pause et je reviens un peu plus tard

Posté par
lakere : etude de fonction 06-01-22 à 23:20

4) b) Oui, F est croissante sur [1,+\infty[.

sur ]0,1[,    \dfrac{1}{x}>1

et F(x)=F\left(\dfrac{1}{x}\right)

Sur ]0,1[,  F est donc la composée de la fonction inverse décroissante sur ]0,1[ à valeurs dans ]1,+\infty[ et de la fonction F croissante sur ]1,\infty[.
Donc sur ]0,1[, F est décroissante.*

4)c) Si x\in[1,+\infty[ :

  F(x)=G(\ln\,x)=\int_0^{\ln\,x}tf(t)\,\text{d}t

mais d'après 2), t\leq tf(t)\leq \dfrac{e}{e-1}\,t

on intègre l'inégalité sur [0,\ln\,x] ...

Posté par
aya4545re : etude de fonction 06-01-22 à 23:39

merci  lake  pour la 2)l erreur que j avais fait j ai integré sur [0x]
l idée  d ecrire F comme composée  de  u   (u(t)=1/t) suivie de G est geniale  merci

Posté par
lakere : etude de fonction 06-01-22 à 23:43

4)d) Je vais quitter mais pour la dérivabilité de F en 1, au moins à droite de 1, il est logique de revenir à la limite du taux de variation (F(1)=0) et d'utiliser l'encadrement de la 4)c).

A gauche de 1, il faudra aviser ...
Bonne nuit

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 08:14

Bonjour,

En attendant la suite (qui n'est pas difficile), la courbe représentative de F :

etude de fonction

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 08:44

La figure est trompeuse mais \lim\limits_{\stackrel{x\to 0}{x>0}}F(x)=+\infty

Posté par
Sylvieg Moderateurre : etude de fonction 07-01-22 à 10:25

Bonjour,
J'ai eu la curiosité de vérifier les premières réponses.

Citation :
f decroissante sur ]-oo 1] croissante sur [1 +oo[
Bizarre :
f(0) = 1
f(1) = e/(e-1) et e/(e-1) > 1 ...

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 11:15

Tu as raison Sylvieg, bonjour :

f est décroissante sur ]-\infty,\alpha] et croissante sur [\alpha,+\infty[ où \alpha est l'unique solution de l'équation e^x-x^2=0

  \alpha\approx -0.7

Je n'avais quasiment pas regardé la 1)

aya4545 va devoir la reprendre.
Merci pour ta vigilance

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 11:22

Bon, je crois que je me suis planté ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : etude de fonction 07-01-22 à 11:22

Les intervalles de aya4545 sont bons, avec la borne 1.
C'est pour ça que 2) est ensuite facile.
Si aya4545 avait dressé le tableau de variation de la fonction f, il aurait sans doute vu son erreur.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : etude de fonction 07-01-22 à 11:22

lake @ 07-01-2022 à 11:22

Bon, je crois que je me suis planté ...
Oui

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 11:32

Quel idiot : j'ai étudié la fonction x\mapsto xf(x)

Citation :
f decroissante sur ]-oo 1] croissante sur [1 +oo[


C'est effectivement l'inverse.
Quel cafouillage chez moi !

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 12:15

Pfff ! Même ma figure était fausse :

etude de fonction

Posté par
aya4545re : etude de fonction 07-01-22 à 12:43

bonjour
merci pour votre aide
f croissante sur ]-oo 1] décroissante sur [1 +oo[ je les ai melangées mais je n ai pas trouvé le resultat de lake  je ne sais pas ou je me suis trompée
suivant les consignes de lake
\forall x \in  [1 +\infty[ \quad \frac12\frac{ln^2x}{x-1}\leq \frac{F(x)}{x-1} \leq \frac{e}{2(e-1)}\frac {ln^2x}{x-1}
donclim\frac{F(x)}{x-1}=0 a droite de 1(derivée de ln^2x en 1)
pour la derivvée en 1 a gauche je fais un changement de variable x=1/t lorsque x tend vers 1^- t tend vers 1^+ et vu que F(1/x)=F(x) pour tout x de ]01[  je trouve
lim\frac{F(x)}{x-1}=0 a gauche de 1

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 12:50

Citation :
f croissante sur ]-oo 1] décroissante sur [1 +oo[ je les ai melangées mais je n ai pas trouvé le resultat de lake  je ne sais pas ou je me suis trompée


Tu ne t'es pas trompée : c'est moi qui me suis mélangé les crayons ...

Oui, F est dérivable en 1 et F'(1)=0

Reste e)

Posté par
aya4545re : etude de fonction 07-01-22 à 13:32

merci lake et sylvieg
je veux des exercices de ce type  (c est un model des exercices de bacc) mais je ne sais pas ou les recuperer j ai cherché dans le programme de maths sup mais en vain je n ai pas trouvé ce que je cherchais priere orienter ma recherche et merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : etude de fonction 07-01-22 à 13:37

Il y en a plein dans l'île ; cherche niveau terminale.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : etude de fonction 07-01-22 à 13:43

Pas si simple en fait. Précise ce qui t'intéresse : primitive ? dérivabilité ?
Et termine d'abord celui-ci

Posté par
aya4545re : etude de fonction 07-01-22 à 13:51

on a en general un probleme d au moin 10 pts sur l etude des fonctions (continuité  dérivabilité calcul integral suites ....) +complexe arithmetique+  structures
ma recherche dans l ile c est dans le forum ou dans les fiches et merci

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 16:24

Bonjour aya4545,

J'ai repéré quelques problèmes intéressants ici même sur l' qui pourraient te convenir.
Avant que je t'indique des liens, pourrais-tu nous dire ce que tu as trouvé pour 4)e) ?

Bien entendu, je ne tords le bras de personne

Posté par
malou Webmasterre : etude de fonction 07-01-22 à 17:22

Bonjour à tous

outre ce que lake a repéré pour toi, tu peux aussi faire des recherches de cette manière

etude de fonction

Posté par
aya4545re : etude de fonction 07-01-22 à 19:22

salut
merci lake
ce que j ai trouvé dans e)
d apres c) ona \forall x \in  [1 +\infty[ \quad \frac12ln^2x\leq F(x) et puisque lim \frac12ln^2x en +\inftyest egale à +\infty donclimF(x)=+\infty
de meme   \forall x \in  [1 +\infty[ \quad \frac12ln^2x\leq F(x) \leq \frac{e}{2(e-1)}ln^2x donc \forall x \in  [1 +\infty[ \quad \frac{\frac12ln^2x}{x}\leq\frac{ F(x)}{x} \leq \frac{\frac{e}{2(e-1)}ln^2x}{x}
or lim\frac{\frac12ln^2x}{x}=lim \frac{\frac{e}{2(e-1)}ln^2x}{x}=0 donc lim F(x)/x=0 en +\infty

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 19:54

La première partie est correcte : F(x)\geq \dfrac{1}{2}\ln^2(x) et la conclusion est immédiate : \lim\limits_{x\to +\infty}F(x)=+\infty
La seconde partie n'est pas fausse mais me semble un peu courte.

Oui: \forall x\in[1,+\infty[,\qquad \dfrac{1}{2}\,\dfrac{\ln^2x}{x}\leq \dfrac{F(x)}{x}\leq \dfrac{e}{2(e-1)}\dfrac{\ln^2x}{x}

Il s'agit de déterminer \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln^2x}{x}
En tout cas en France, cette limite n'est pas connue mais on peut écrire :

   \dfrac{\ln^2x}{x}=4\,\left(\dfrac{\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2 pour se ramener à une limite du cours connue.

Bref, on sait maintenant que \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{F(x)}{x}=0

A une certaine époque, on savait qu'il y avait une interprétation graphique : la courbe \mathcal{C}_F présente en +\infty une branche parabolique d'axe l'axe des abscisses (voir la dernière figure). Je ne sais pas ce qu'il en est pour toi aujourd'hui ...

Bon, il me reste à réunir quelques sujets qui me semblent intéressants pour toi

Posté par
aya4545re : etude de fonction 07-01-22 à 20:10

merci lake
je vous ai donné une redaction courte etant donné que l ecriture de ces formules prend  beaucoup de temps merci pour ces conseils
en interpretation graphique  si limf(x)/x=0  (en +\infty)alors C_f admet une branche parabolique de direction  l'axe des abscisses
et si   limf(x)/x= +\infty  (en +\infty)alors C_f admet une branche parabolique de direction  l'axe des ordonnées
et si   limf(x)/x= a et lim f(x)-ax = +\infty (en +\infty)alors C_f admet une branche parabolique de direction  la droite  y=ax

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 20:26

Ah! Je vois que tu es un spécialiste !
Je dois faire une pause. Reviens ce soir tard ou demain.
Je vais poster quelques sujets de l' susceptibles de t'intéresser.
Une question se posera : si tu as des interrogations sur ces sujets, dois-tu continuer sur les sujets en question ou en poster un nouveau ?
Il faut bien avouer que certains sont déjà quasiment illisibles avec des regroupements suite à des multiposts.
Si malou ou Sylvieg passent par ici une fois les liens postés, elles sauront nous conseiller utilement.

Posté par
malou Webmasterre : etude de fonction 07-01-22 à 20:50

Bonsoir
une fois les liens postés, le mieux sera sans doute d'ouvrir un sujet pour tout nouveau sujet à traiter (en y mettant un lien vers le sujet d'origine éventuellement)
Si souci ou questionnement particulier (que nous ne voyons pas nécessairement), un petit signalement pour nous alerter.

Posté par
lakere : etude de fonction 07-01-22 à 21:45

Commençons par celui là : Lagrange identite trigonometrique

Molotov79 était un intervenant disons un peu brouillon (j'ai immédiatement un adjectif à l'esprit qui commence par la même lettre et que je ne peux pas poster ici). Au demeurant, je le trouvais sympathique.
Le fil est quasiment illisible. Je te propose d'aller directement au 22/02/19 à 22h06 où tu trouveras enfin un énoncé.

Celui ci : Irrationnalités de pi² et de e^s d'aprés Charles Hermite (TS). est un peu technique et calculatoire mais historiquement intéressant : à toi de voir.

Celui là m'avais un peu surpris en Terminale : Formule de Stirling mais rien en dehors des clous question niveau Terminale.

Encore un sujet sur la somme des inverses des carrés : Intégrales

Le Bac C 1988 Paris-Créteil-Versailles : Bac C 1988 Paris-Créteil-Versailles
L'énoncé complet  le 21/11/16 à 13h31.

Un sujet sur la fonction logarithme présentée de façon inhabituelle : Défiition d' une application.

Je me suis concentré sur des problèmes orientés analyse. Je pense que tu as de quoi t'occuper ...

Posté par
aya4545re : etude de fonction 07-01-22 à 22:14

salut
merci lake c est gentil de votre part j ai recopié tous les liens


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