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etude de fonction

Posté par
aya4545 16-01-22 à 20:51

salut
priere m aider a terminer cet exercice
f_n définie sur \R par:
f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}  \quad n\in \N^*  

1)  calculer lim_{x \to -\infty} f_n(x)   


2) etudiez les variations de f_n pour tout x de  \R distinguer les deux cas npair et n impair
3) soit F_n la primitive de f_n sur \R tel que F_n(0)=-1

a) montrer que \forall x \in \R \quad : F_1(x)=-(x+1)e^{-x}
b) montrer que pour tout n de \N tel que n \geq2 \quad \forall x \in \R \quad :F_n(x)-F_{n+1}(x)=-\frac{x^n}{n!}e^{1-x}
c) montrer que pour tout n de \N^*  et pour tout x de \R
F_n(x)=e-e^{1-x}(1+\frac{x}{1!}+......+\frac{x^n}{n!})
d) determiner \lim_{x \to +\infty} F_n(x)

4) montrer que \forall x \in [01] \quad 0\leq F_n(x)\leq \frac{1}{n!}
5) montrer que \forall x \in [01] \quad \lim(\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n}\frac{x^k}{k!})=e^x
ce que  jai fait 1)
lim_{x \to +\infty} f_n(x) =0   et lim_{x \to -\infty} f_n(x) =-\infty  si n impair et lim_{x \to -\infty} f_n(x)=+\infty    si n est pair
2) f'_n(x)=0 si et seulement si x=0 ou x=n
facile à deduire les variations de  fn
3)a) facile on derive F_1 on trouve f1
bloquée dans 3)b)
j ai essayé directement en derivant les deux membres mais ils n ont la meme derivée
je vais essayer par recurence et merci

Posté par
aya4545re : etude de fonction 16-01-22 à 20:56

je m excuse
dans 3)b) montrez quen \geq2 \quad \forall x \in \R \quad :F_n(x)-F_{n-1}(x)=-\frac{x^n}{n!}e^{1-x}

Posté par
aya4545re : etude de fonction 16-01-22 à 21:00

salut
je pense qu il ya un probleme dans l ennoncé de l exercice
deja dans l initialisation il ya un probleme je pense qu il faut :
montrer qu pour tout  
n \geq2 \quad \forall x \in \R \quad :F_n(x)-F_{n-1}(x)=-\frac{x^n}{n!}e^{-x}

Posté par
LeHiboure : etude de fonction 16-01-22 à 23:26

Bonsoir,

Pour 3,b) tu  peux étudier (Fn - Fn-1)' = fn -fn-1.
D'un côté tu sais calculer la dérivée de l'expression qu'on te propose de trouver, soit (-xne1-x)/n!)'
de l'autre côté tu sais calculer directement fn -fn-1.
Les deux expressions doivent être égales, et si tu trouves bien cela, leurs primitives sont égales à une constante près.
Tu conclus sur la constante en utilisant la condition en 0.

Posté par
lakere : etude de fonction 16-01-22 à 23:28

Bonsoir,

  

Citation :
montrer qu pour tout  
n \geq2 \quad \forall x \in \R \quad :F_n(x)-F_{n-1}(x)=-\frac{x^n}{n!}e^{-x}


Je préfère.

  Tu peux dériver le premier membre (en tant que différences de primitives) et le second pour constater qu'il y a égalité.

  Ce qui signifie que les deux membres de départ sont égaux à une constante près.

   F_n(0)=-1 permet d'affirmer que la constante en question est nulle.

Posté par
lakere : etude de fonction 16-01-22 à 23:29

Bonsoir LeHibou

Posté par
LeHiboure : etude de fonction 16-01-22 à 23:35

Bonsoir Lake, ça me rassure que tu proposes la même piste que moi

Posté par
lakere : etude de fonction 16-01-22 à 23:36

Promis : à 2 minutes d'intervalle, je n'ai pas copié

Posté par
LeHiboure : etude de fonction 16-01-22 à 23:40

Citation :
Promis : à 2 minutes d'intervalle, je n'ai pas copié

Ça, je n'avais aucun doute !

Posté par
aya4545re : etude de fonction 17-01-22 à 10:46

bonjour
merci LeHibou et lake
l exercice je l ai pris d un vieux livre et dans lequel la question a été proposé ;
montrer que pour tout n de \N tel que n \geq2 \quad \forall x \in \R \quad :F_n(x)-F_{n-1}(x)=-\frac{x^n}{n!}e^{1-x}
ce nest qu en cherchant une approximation polynomiale de e^x dans le net que je me suis appercu que la question etai fausse je lai corrigée a 21h
montrer que pour tout n de \N tel que n \geq2 \quad \forall x \in \R \quad :F_n(x)-F_{n-1}(x)=-\frac{x^n}{n!}e^{-x} merci

Posté par
lakere : etude de fonction 17-01-22 à 16:25

Bonjour aya4545,

Oui, je pense que LeHibou et moi avions vu ta correction de l'énoncé.
Par contre, ce que n'avais, moi, pas vu, c'est ceci dans ton message de départ :

  

Citation :
bloquée dans 3)b)
j ai essayé directement en derivant les deux membres mais ils n ont la meme derivée


Ce qui signifie que tu n'avais pas vraiment besoin de nous !

  

Posté par
lakere : etude de fonction 17-01-22 à 16:33

Au fait : ton énoncé est bancal de A à Z :

Par exemple, mais pas seulement, ici :

  

Citation :
4) montrer que \forall x \in [0,1] \quad 0\leq F_n(x)\leq \frac{1}{n!}


Avec F_n(0)=-1, c'est mal parti
  

Posté par
aya4545re : etude de fonction 17-01-22 à 19:58

Salut
merci  pour pour vos conseils dont j ai  et j aurai besoin comme j ai dis ce sont des repas pour ma cervelle et c est  la vérité lake
le metier  et plutot la mission de professeur c est de la noblesse encore donner du soutien pour un eleve  c est du sacré .vous realisiez une certaine continuité a la periode d Aristot qui presentait ses lecon s sur le fondement de la logique gratuitement  sous  l ombre d un arbre vous pareil vous le faites a travers le net  
dans l exercice  3) l enoncé de depart etais F_n(0)=0 mais pour ne pas etre en conflit avec 3) a) je l ai rectifié a F_n(0)=-1 mais ca pose un prbleme   dans 5)   \forall x \in [01] \quad 0\leq F_n(x)\leq \frac{1}{n!} encore  un probleme dans 3)c)
cordialement Aya

Posté par
lakere : etude de fonction 18-01-22 à 15:15

Hem ... tu y vas un peu fort aya4545 !
Bien sûr, flatté mais tu me poses en successeur d'Aristote. Outre que je n'ai jamais été "professeur", ça me semble un peu excessif ! Le gaillard a tout de même un héritage que je suis incapable de porter !

Posté par
larrechre : etude de fonction 18-01-22 à 16:18

Bonjour à tous,

Citation :
Aristot qui presentait ses lecon s sur le fondement de la logique gratuitement  sous  l ombre d un arbre ...  


A l'ombre des arbres peut-être, mais en marchant,  suivi de ses élèves péripatéticiens.

Posté par
lakere : etude de fonction 18-01-22 à 16:36

Juste avant de poster 15h15, j'étais allé me rafraichir la mémoire sur Wiki ... et je suis bien sur tombé sur l'adjectif.
Il faut tout de même remettre l'église au milieu du village :


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