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Niveau Prepa (autre)
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étude de fonction

Posté par
KiyotakaMath
09-03-22 à 16:53

Bonjour, l'énoncé est le suivant.
On décide dans un premier temps de noter E(x) la partie entière du réel x.
On doit étudier la fonction x x - E(x) - (x - E(x))2.
J'ai su bien étudier toute la fonction, elle est évident définie sur , elle est 1-périodique, j'ai donc réduit l'étude sur [0,1[ et puis tout se passe bien, je finis finalement mon étude.
Mais je me rends compte qu'on aurait pu faire mieux encore et réduire l'étude sur [0,1/2] en remarquant que le graphe est invariant pour toute réflexion par rapport à une droite dont l'équation est de la forme x=k/2 où k est dans .
En clair, algébriquement je dois montrer que f(k-x)=f(x), où plus simplement le faire pour un entier quelconque par exemple 1 et conclure avec la 1-périodicité.
Prenons 1 par exemple, je réalise mes calculs et je tombe finalement sur f(1-x)=f(-x) et oui il est vrai qu'à l'aide du graphe que j'ai tracé je constate que la fonction est paire i.e f(x)=f(-x) mais justement je n'arrive pas à montrer cela, je me retrouve avec des -E(-x) qui est au final n'est juste que la partie entière supérieur de x mais je vois pas quoi faire d'autre.
Merci de votre aide

Posté par
carpediem
re : étude de fonction 09-03-22 à 17:06

salut

et si tu essayais d'exprimer justement -E(-x) en fonction de E(x) ?

Posté par
carpediem
re : étude de fonction 09-03-22 à 17:07

à l'aide de la définition de E(x) en posant x = n + r avec n = E(x) et ...

Posté par
KiyotakaMath
re : étude de fonction 09-03-22 à 17:27

Dans un premier temps, merci de votre aide
J'arrive toujours pas à m'en sortir, il y a plusieurs définitions de E(x).
Pour répondre à la première question,
-E(-x)=E(x) si x

et -E(-x)=E(x)+1 sinon

Posté par
carpediem
re : étude de fonction 09-03-22 à 17:30

si tu veux montrer que la fonction est (im)paire

tu peux toujours partir avec x positif et x = n + r avec r [0, 1[

donc -x = ...
E(-x) = ...

conclusion ?

Posté par
KiyotakaMath
re : étude de fonction 09-03-22 à 18:24

J'ai réussi, grâce à votre aide, merci de m'avoir donner l'idée d'exprimer x=n + r + où n est dans et r dans [0,1[ afin d'utiliser les propriétés de la partie entière i.e E(n+r)=E(r)+n=n
J'ai réussi à montrer à l'aide de calculs que f(x)=f(-x) pour r dans ]0,1[ dans un premier temps, puis pour r=0.
Merci énormément pour votre aide carpediem.

Posté par
carpediem
re : étude de fonction 09-03-22 à 18:52

de rien

oui on pouvait distinguer x = E(x) = n (donc r = 0 qui est un cas élémentaire) du cas r > 0 ... guère plus difficile ...



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