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Niveau terminale
Etude de fonction
Posté par Emilie38n
Bonjour,
je m'appelle Emilie, je suis actuellement en terminale option mathématiques et je dois rentre un DM lundi.
J'ai fait le 1er exercice mais je bloque sur les 2 exercices suivants.
J'aimerai un peu d'aide pour me guider dans la marche à suivre.
En vous remerciant par avance,
Bonne journée
Emilie
Enoncé de l'exercice 2:
On observe l'évolution d'une population de bactéries présentes dans une solution sur une période de 8h. Le nombre de bactéries, noté P, dépend de la quantité de nourriture et de la température de la solution et évolue dans le temps, noté t et exprimer en heures
Au début de l'étude la solution contient 1000 bactéries, puis cette quantité augmente pour atteindre son maximum de 1500 bactéries au bout de 5h.
Ensuite, elle diminue jusqu'à atteindre 1200 bactéries en fin d'étude.
On a constaté que l'augmentation du nombre de bactéries s'accélérait pendant les 3 premières heures de l'étude seulement (sinon, elle diminuait) et que la diminution du nombre de bactéries baissait pendant les 2 dernières heures de l'étude seulement (sinon, elle augmentait).
1) a) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction P est-elle croissante ?
b) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction P est-elle décroissante ?
c) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction P est-elle convexe ?
d) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction P est-elle concave ?
e) Quelles sont les abscisses des points d'inflexion de la courbe représentative de P ?
2) Tracer l'allure possible de la courbe représentative de P
Afin de mieux comprendre comment répondre aux questions, j'ai commencé par essayer de tracer la courbe (pièce jointe). Cependant, je ne suis pas du tout certaine, car il est indiqué "pour atteindre son maximum de 1500 bactéries au bout de 5h", ce qui, pour moi, signifie que la courbe ne doit pas dépasser les 1500 bactéries. Et dans ce cas, je n'arrive pas à tracer la courbe.
Merci pour votre aide.
bonjour,
"Au début de l'étude la solution contient 1000 bactéries, puis cette quantité augmente pour atteindre son maximum de 1500 bactéries au bout de 5h."
sur ton schéma, tu as placé un maximum en t=3 et ta courbe décroît ensuite. Ca ne colle pas.
trace une portion de courbe qui monte de 1000 à 1500 pour t=0 à 5.
ensuite : "l'augmentation du nombre de bactéries s'accélére pendant les 3 premières heures de l'étude seulement (sinon, elle diminue)" : ca veut dire que pendant les 3 premières heures, elle monte de plus en plus vite, et ensuite elle monte toujours, mais de moins en moins vite.
rectifie la portion de courbe tracée.
tu vois ?
Ensuite, elle redescend, jusque 1200 pour t=8.
à ton avis, comment vas tu "traduire" : "la diminution du nombre de bactéries baisse pendant les 2 dernières heures de l'étude seulement (sinon, elle augmente)."
Bonjour et merci pour votre retour,
effectivement les "sinon, elle diminue" et "sinon, elle augmente" m'ont induit en erreur.
Je pense avoir compris. Je viens de refaire le graphique, j'espère qu'il sera juste cette fois-ci. 
Le voici en pièce jointe.
Merci
c'est mieux, mais ça n'est pas ça encore.
la courbe que tu dois tracer est plus sophistiquée qu'une simple parabole.
Entre t= 0 et 3, elle monte très vite, de plus en plus vite. Tu connais une courbe qui fait ça, c'est celle de la fonction exponentielle.
sur cet intervalle, tu peux dessiner un morceau de courbe exponentielle. Puis de t=3 à 5, elle monte encore mais de plus en plus doucement.. connais tu une courbe qui fait ça ?
à partir de t=5, pendant une heure, elle descend de plus en plus vite, puis en t=7, elle change d'allure, elle descend mais très doucement.
C'est comme si tu avais 4 petits morceaux de courbe, et non une parabole régulière. OK ?
je dois m'absenter, je pense que tu as bien rectifié ta courbe.
En voici une qui devrait y ressembler, tu pourras ensuite répondre aux questions, n'est ce pas ?
Alors ce serait peut être quelque chose comme ça plutôt ?
Encore désolée et surtout merci pour votre aide.
** malou edit > j'ai tourné les images, tiens ton téléphone à 90° **
Merci pour la courbe, je vais maintenant me pencher sur les questions.
Je ne suis pas certaine de terminer ce soir, car je dois aller à mon sport mais je m'y remettrai dès demain matin.
Encore merci à vous
Bonne soirée
Bonjour,
je viens de voir pour répondre à la question 1 et voici mes réponses.
a) La fonction est croissante sur [0;5]
b) La fonction est décroissante sur [5;8]
c) La fonction est croissante sur [0;3] et l'augmentation augmente, la fonction est donc convexe sur [0;3].
la fonction est décroissante sur [6;8] et la diminution diminue, la fonction est donc convexe sur [6;8].
d) La fonction est croissante sur [3;5] et l'augmentation diminue, la fonction est donc concave sur [3;5].
La fonction est décroissante sur [5;6] et la diminution augmente, la fonction est donc concave sur [5;6].
La fonction est donc concave sue ]3;6[.
e) 3 et 6 sont les abscisses des point d'inflexion.
Merci d'avance pour votre aide
bonjour,
tes réponses sont justes.
Pour c) et d) as tu conclu par rapport au graphique ?
Note que la vitesse est la dérivée de la fonction,
et l'accélération, c'est la dérivée seconde.
Tu sais que la fonction est convexe quand la dérivée seconde est positive, (accélération positive) là où on te dit que le nombre augmente de plus en plus vite (ou qu'il diminue de moins en moins vite).
Donc la fonction est convexe sur [0 ; 3] et sur [6 ; 8]
graphiquement, la tangente est en dessous de la courbe
la fonction est concave quand la dérivée seconde est négative, (accélération négative) là où le nombre augmente de moins en moins vite, ou qu'il diminue de plus en plus vite).
Concave sur [3 ; 5] et [5 ; 6].
graphiquement, la tangente est au dessus de la courbe.
Bonne journée
Bonjour et un grand merci pour toutes vos explications qui me permettront certainement de mieux réussir le prochain contrôle 
Excellent we à vous.
Emilie
Désolée, je viens de voir votre message car j'ai essayé de faire le dernier exercice qui lui, concerne les probabilités.
Je viens de le poster dans un nouveau poste.
Merci d'avance
Bonjour,
Petit complément à celui ci :
on peut trouver 4 arcs de paraboles qui se raccordent pour former une fonction définie par morceaux conforme à l'énoncé.
point n'est donc besoin de faire intervenir des exponentielles
ici j'ai choisi par facilité des tangentes horizontales en x = 0 et x = 8
la solution est alors unique (avec uniquement des arcs de paraboles)
sinon il y en a une infinité.
les coefficients des équations sont des entiers ou des fractions simples (avec un "petit" dénominateur)
le dessin est avec un axe des ordonnées décalé de 800