Il faut comprendre ce que signifie arcsin(1/x)

Cela signifie l'arc dont le sinus est égal à (1/x)
Et comme un sinus est toujours dans [-1 ; 1], ici cela impose que (1/x) soit dans [-1 ; 1]
Donc que |x| >= 1 -> x dans ]-oo ; -1] U [1 ; oo[

f(x) = arcsin(1/x)
Df : x dans ]-oo ; -1] U [1 ; oo[
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f '(x) = -(1/x²)/V(1 - (1/x)²)  V pou racine carrée.
f '(x) = -(1/x²).V(x²/(x²-1))

Pour x dans ]-oo ; -1[ : f '(x) = 1/(x.V(x²-1)
Pour x dans ]1 ; oo[ : f '(x) = -1/(x.V(x²-1)

f '(x) n'est jamais nulle dans Df.
f '(x) < 0 pour x dans  ]-oo ; -1] U [1 ; oo[ -> f(x) est décroissante.
(ATTENTION f(x) n'existe pas sur ]-1 ; 1[ ).
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f(-1) = -Pi/2
f(1) = Pi/2
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A toi si tu en veux plus.
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Sauf distraction.  

Dans ma réponse précédente, lire:

Pour x dans ]-oo ; -1[ : f '(x) = 1/(x.V(x²-1))
Pour x dans ]1 ; oo[ : f '(x) = -1/(x.V(x²-1))

Merci bcq!!

Donc si dans mon tableau de variation je trouve que ma fonction est croissante concaviter vers le haut vers -1 mais n'existe pas en -1, et que entre -1 et 1  elle n'existe pas non plus(car domf) et que apres 1 elle devient decroissante concaviter vers le haut?!
j'ai une derniere question , comment calculer les asymptotes? il y a une verticale en-1 et une en 1 ?

encore merci

Non bbange, c'est faux.

J'ai montré que f(x) était décroissante partout où elle existe.

Si tu recherches la dérivée seconde et que tu ne fais d'erreurs, tu trouveras que la concavité est vers le bas sur ]-oo ; -1] et vers le haut dans [1 ; oo[
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Pour les asymptotes:
lim(x-> +/- oo) f(x) = 0
Et donc la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe représentant f(x) et ceci aussi bien du coté des x négatifs que du coté des x positifs.

Si cela peut t'aider voir le dessin.
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Sauf distraction.

aHHH je hais les analyses!!!
Merci bcq je reverrais tt ca demain!