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Etude de fonction, équivalence

Posté par
LorieGinal
11-03-19 à 22:00

Bonsoir, voici un exercice de DM sur lequel je bloque. Merci d'avance pour votre aide

Soient n \epsilon N^{*} et f_{n}(x) : R_{+}\rightarrow R,  x \rightarrow 1-x-x^n.
1./ Montrer que l'équation f_{n}(x)=0 d'inconnue x\epsilon R possède une seule solution, notée u_{n}.

2./ a) Vérifier que u_{n} \epsilon ]0,1[.
b) En déduire le signe de f_{n+1}(u_{n}) puis établir que la suite (u_{n}) est croissante.
c) Conclure que la suite  (u_{n}) converge et que sa limite appartient à [0,1].
d) Prouver par l'absurde que u_{n} \rightarrow 1 quand n \rightarrow +\infty.

3./ Pour tout n \epsilon N^*, on pose v_{n}=1-u_{n}.
a) Justifier que v_{n} > 0, puis montrer que ln(v_{n}) \sim -nv_{n} quand n \rightarrow +\infty.

b) Montrer que \frac{ln(\frac{-ln(v_{n})}{nv_{n}})}{-ln(v_{n})}\rightarrow 0 quand n \rightarrow +\infty et en déduire que ln(v_{n}) \sim -ln(n) quand n \rightarrow +\infty..

c) Montrer enfin que v_{n} \sim \frac{ln(n)}{n} quand n \rightarrow +\infty.

4./ Donner la nature des séries de termes généraux v_{n} et v_{n}^{2}.


J'ai fait la 1 comme ceci :

f_{n}(x) = 1-x-x^n
f_{n}'(x)=-1-nx^{n-1}

Or f_{n}'(x)<0 car n\epsilon N^* et x \epsilon R_{+} donc sont tous deux positifs.

Ainsi, f_{n}(x) est strictement décroissante sur R, et elle est de plus continue sur R.
Ainsi par le théorème de la bijection monotone, f_{n}(x)=0 admet une unique solution que l'on note u_{n}.

Mais je bloque directement pour la suite.
Merci d'avance pour votre aide

(Si jamais je ne réponds pas tout de suite c'est parce que je suis en cours et que je ne peux venir sur le site qu'en fin d'après-midi).

Posté par
Jezebeth
re : Etude de fonction, équivalence 11-03-19 à 22:05

Bonsoir

0\leq u_n=1-u_n^n\leq 1... et 0 n'est clairement pas solution pour tout n > 0.

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 11-03-19 à 22:08

Euh .. je n'ai pas bien compris. C'est pour quelle question déjà ?

Posté par
Jezebeth
re : Etude de fonction, équivalence 11-03-19 à 22:10

2a.

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 11-03-19 à 22:17

Je ne comprends pas pourquoi u_{n}\geq 0

Posté par
Jezebeth
re : Etude de fonction, équivalence 11-03-19 à 22:34

Comme zéro d'une fonction définie sur R+...

Posté par
larrech
re : Etude de fonction, équivalence 11-03-19 à 22:40

Bonsoir,

f_n(0)=1 et f_n(1)=-1, donc u_n\in]0,1[

Après, regarder (f_{n+1}-f{n}) sur ]0,1[

Et pour la suite, Développement limité dans x^n + x - 1

Posté par
larrech
re : Etude de fonction, équivalence 11-03-19 à 22:42

Désolé, je croyais que Jezebeth était parti.

Du coup, c'est moi qui me sauve.

Posté par
carpediem
re : Etude de fonction, équivalence 12-03-19 à 14:28

salut

LorieGinal @ 11-03-2019 à 22:00



Ainsi, \cancel {f_{n}(x)}  f_n est strictement décroissante sur R, et elle est de plus continue sur R.
ne pas confondre une fonction f et l'image f(x) du réel x par cette fonction

...

Posté par
carpediem
re : Etude de fonction, équivalence 12-03-19 à 14:36

en posant u = u_n $ et $ v = u_{n + 1} alors

f_n(u) = 0 \iff u^n + u - 1 = 0 \\ f_{n + 1} (v) = 0 \iff v^{n + 1} + v - 1 = 0 \iff v^{n + 1} - v^n + f_n(v) = 0 \iff f_n(v) = (v - 1)(v^{n - 1} - v^n) < 0   \red  (1)

or f_n est ... donc v > u

bien sur justifier (1)

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 12-03-19 à 22:38

Donc ça Carpediem, c'est pour la question 2.
J'ai bien compris la méthode mais je ne comprends pas comment apparaît le f_{n}(v)  dans le troisième bloc de l'équation f_{n+1}(v)=0

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 12-03-19 à 22:51

carpediem @ 12-03-2019 à 14:36


\iff v^{n + 1} - v^n + f_n(v)= 0


Je ne comprends pas comment vous écrivez à cette expression et c'est bien pour la question 2./b) je me suis trompée avant

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 12-03-19 à 23:07

Pour justifier le signe de f_{n}v, je dis que comme u_{n} appartient à ]0,1[, alors u_{n+1} aussi.
Donc :
* v-1 < 0
* (v^{n - 1} - v^n) > 0, mais je ne sais pas trop pourquoi.

Or, f_n est décroissante donc v > u donc la suite u_{n} est croissante.

Posté par
larrech
re : Etude de fonction, équivalence 12-03-19 à 23:25

f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^n(1-x) > 0 sur ]0,1[ et de ce fait,

f_{n+1}(u_n)-f_n(u_n)=f_{n+1}(u_n) >0

ce qui implique  que u_{n+1} \in ]u_n , 1[ donc la croissance de la suite (u_n)

Posté par
carpediem
re : Etude de fonction, équivalence 13-03-19 à 09:21

LorieGinal @ 12-03-2019 à 22:51

carpediem @ 12-03-2019 à 14:36


\iff v^{n + 1} - v^n + f_n(v)= 0


Je ne comprends pas comment vous écrivez à cette expression et c'est bien pour la question 2./b) je me suis trompée avant
ben tu remplaces f_n(v) par son expression et ut regardes ...

LorieGinal @ 12-03-2019 à 23:07

* (v^{n - 1} - v^n) > 0, mais je ne sais pas trop pourquoi.
ne sais tu pas que

0 \le x \le 1 => 0 \le x^2 \le x \le 1 => ... => 0 \le x^{n + 1} \le x^n \le x^{n - 1} \le ... \le x \le 1

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 13-03-19 à 22:03

carpediem @ 13-03-2019 à 09:21

LorieGinal @ 12-03-2019 à 22:51

carpediem @ 12-03-2019 à 14:36


\iff v^{n + 1} - v^n + f_n(v)= 0


Je ne comprends pas comment vous écrivez à cette expression et c'est bien pour la question 2./b) je me suis trompée avant
ben tu remplaces f_n(v) par son expression et ut regardes ...

LorieGinal @ 12-03-2019 à 23:07

* (v^{n - 1} - v^n) > 0, mais je ne sais pas trop pourquoi.
ne sais tu pas que

0 \le x \le 1 => 0 \le x^2 \le x \le 1 => ... => 0 \le x^{n + 1} \le x^n \le x^{n - 1} \le ... \le x \le 1


Oui d'accord mais pourquoi est ce que vous remplacez par du f_{n}(v) ?

Posté par
carpediem
re : Etude de fonction, équivalence 13-03-19 à 22:10

inutile de répéter les msg ...

ben pour comparer f_n(v) et f_n(u) sachant que v suit u dans la suite ... et montrer que la suite est croissante ...

larrech a fait très efficace ...

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 13-03-19 à 22:11

En fait je crois que j'ai encore pas compris comment l'expression f_{n}(v) apparaît ...

Posté par
carpediem
re : Etude de fonction, équivalence 13-03-19 à 22:15

mais bon sang !!!

f_n(x) = ... ?

f_n(v) = ... ?

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 13-03-19 à 22:22

f_{n}(x) = 1-x-x^{n}

f_{n}(v)=u_{n+1}^{n}+u_{n+1}-1

Posté par
carpediem
re : Etude de fonction, équivalence 13-03-19 à 22:33

ben voila ... donc remplace dans ma formule ...

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 13-03-19 à 22:47

Je suis vraiment désolée, mais je bloque vraiment ...

Je vois bien que c'est cohérent :

v^{n+1}-v^{n}+f_{n}(v) = v^{n+1}-v^{n}+v^{n}+v-1=v^{n+1}+v-1 = f_{n+1}(v)

Dans ce sens je comprends bien, mais dans ce sens je ne comprends pas comment de :

v^{n+1}+v-1, on passe à  v^{n+1}-v^{n}+f_{n}(v)

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 14-03-19 à 19:44

Posté par
carpediem
re : Etude de fonction, équivalence 14-03-19 à 20:10

toute égalité se lit de gauche à droite comme de droite à gauche ...

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 16-03-19 à 10:19

Oui c'est vrai, bon ok alors.
Pour la 2./c) : u_{n} est croissante et est compris dans l'intervalle ]0,1[, donc elle converge et sa limite appartient à [0,1]

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 17-03-19 à 12:11

Posté par
LorieGinal
re : Etude de fonction, équivalence 17-03-19 à 20:33

Alors, j'ai fini quasiment tout l'exercice il me manque juste le raisonnement par l'absurde  de la question 2./b) et la question 4./
Merci pour votre aide

Posté par
larrech
re : Etude de fonction, équivalence 17-03-19 à 23:14

Soit L la limite de u_n,  u_n <L et  comme f_n est strictement décroissante, f_n(L)<f_n(u_n) =0
 \\
Donc,  -L^n-L+1<0, soit -L^n<L-1 <0   si   L<1

Or quand  n\to +\infty,    -L^n \to 0. On aboutit donc à une absurdité, à moins que    L-1     ne soit nul.

Ensuite, voir du côté des séries de Bertrand, et éventuellement, là Série ln/n et ses copines!

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