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Étude de fonction et étude d'une suite
Bonjour,
J'ai un devoir maison à rendre pour le 28/11 et j'aurais besoin de votre aide notamment pour démarrer...
Voici l'énoncé :
A.Etude d'une fonction:
On donne ci dessous la courbe C représentative de la fonction f définie sur R par f(x)=x-1/4(x+1)e^-x ainsi que la droite d d'équation y=x.
Quelques points environ : (-2;-2). (-1;-1). C décroissante sur ]- infini;-1] puis croissante sur [-1;+infini[.
1/a Calculez, pour tout réel x, f'(x) et f''(x).
-> ici je bloque..
b/Déduisez en les variations de f'.
-> je pense que le signe de f''(x) me donnera les variations de f'(x)?
c/Démontrez que l'équation f'(x)=0 a une solution unique alpha telle que -1, 21<alpha<-1,20.
2.a/Déduisez de la question précédente les variations de f.
-> avec question précédente, signe de f'(x),...
b/Démontrez que si x appartient à l'intervalle I=[-1;0] alors f(x) appartient également à I.
-> raisonnement par récurrence?
B.Etude d'une suite:
On définit la suite (Un) par U0=0 et pour tout n de N, Un+1=f(Un).
1.En utilisant la représentation graphique ci dessus (même points que C), que pouvez vous conjecturer concernant le sens de variation et la convergence de la suite (Un) ?
->Un+1=f(Un) donc..?
2.a/Démontrez par récurrence que pour tout n de N*:
-1<Un<0.
b/Démontrez que la suite (Un) est décroissante.
-> Un+1-Un, étude signe,...
c/Déduisez en que la suite (Un) converge vers une limite l que l'on déterminera.
Merci d'avance pour votre aide.
Je suis à votre disposition pour toutes questions sur l'énoncé.
Bonne journée 😉
Bonjour ,
telle qu'elle est écrite ( f(x)=x-1/4(x+1)e^-x) on a f(x) =
Est-ce bien cela dans l'énoncé ?
Oui c'est bien celà dans l'énoncé, oui effectivement j'ai essayé avec cette formule mais je narrive pas à dériver 1/4(x+1)e^-x ce qui m'empêche de dériver l'ensemble..
procédons par étape
dérivée de (x+1) e-x
dérivée de u=u'= dérivée de ( x+1)=........
dérivée de v= v'=dérivée de e-x=........
ensuite tu calcules u'v+v'u
indiques tes résultats successifs
Pour cette partie j'ai donc :
Dérivée de u=u'=(x+1)'=1
Dérivée de v=v'=(e^-x)'= -e^-x
Donc :
u'v+v'u
= 1(e^-x)+(x+1)(-e^-x)
= e^-x-xe^-x-e^-x
=xe^-x ?
avec les exposants...
= 1(e-x)+(x+1)(-e-x)
= e-x-xe-x-e-x ce signe est passé à la trappe...
=-xe-x
d'où
ensuite dérivée de x=.....
et tu additionnes pour avoir la dérivée de f
OK
f'(x)=1+(1/4)x e-x
maintenant il faut déterminer f"
tu dérives
x e-x
u=x et v = e-x
(uv)'=u'v+v'u
J'ai donc question 1)b) :
Signe de e-x: + sur ]-infini;+infini[
Signe de (1/4-x): + sur ]-infini;1/4]
- sur [1/4;+infini[.
Donc, je peux en conclure que f"(x) est positive sur ]-infini;1/4] et négative sur [1/4;+infini[.
En insérant tout cela dans un tableau je peux donc mettre les variations de f'(x) qui est croissante sur ]-infini;1/4] et décroissante sur [1/4;+infini[ ?
Ah oui d'accord, merci!
Cela donne donc :
Signe de e-x/4 : + sur R
Signe de (1-x) : + sur ]-infini;1]
- sur [1;+infini[
Donc, signe de f"(x): + sur ]-infini;1] et - sur [1;+infini[ .
En conclusion, f'(x) croissante sur ]-infini;1] et décroissante sur [1;+infini[ .
Après avoir vérifiée les questions précédentes je suis maintenant à la 1)c) :
Démontrez que l'équation f'(x)=0 a une solution unique alpha telle que -1, 21<alpha<-1,20.
Je sais donc que je vais devoir résoudre :
f'(x)=0
Soit : 1+1/4xe-x
Or, je ne sais pas si je dois développer plus ici?
Par la suite, je sais également que je devrais calculer le discriminant et chercher l'unique solution x0= -b/2a
détermine la limte de f' en ±
f'(x) croissante sur ]-infini;1] et décroissante sur [1;+infini[ tu en déduis que
f 'admet maximum en en 1
puis corollaire du théorème TVI
pour montrer que
l'équation f'(x)=0 a une solution unique alpha telle que -1, 21<alpha<-1,20.
f'(1)
Limite de f en - infini : - infini
Limite de f en + infini : 1
f est continue sur ]-1,21;-1,20[
f est strictement croissante sur cet intervalle
f(-1,21)=0,014<0
f(-1,20)=3,9*10-3>0
Donc, l'équation f'(x)=0 admet uneunique solution alpha telle que : -1,21<alpha<-1,20
<-1,20tu en déduis le signe de la dérivée de f' , puis le tableau de variation de f ,
tu le complètes en déterminant les limites ± ∞.
Merci Beaucoup pour vos réponses, donc sur [-1;0] f est croissante et f(-1)=-1 et f(0)=-0,25.
Donc si x apmartient à I [-1;0] alors f(x) appartient également à I.
Selon la représentation graphique je peux donc conjecturer que la suite (Un) est décroissante et qu'elle converge vers -1 ?
Je me suis surtout aidée des autres questions car là je suis un peu perdue..
Ensuite, question B)2)a):
Raisonnement par récurrence :
Initialisation : U0=0
Donc -1<U0<0
Hérédité ; U1=f(1)=-0,25 ....
Conclusion,...
-> Donc, Ça ok je sais comment faire.
b) Demontrez que la suite (Un) est décroissante :
Un+1-Un= -0,25-0=-0,25<0 donc décroissante...
Ensuite, B)2)b) :
Je peux en déduire que la suite Un converg vers une limite l car elle est décroissante et -1<Un<0 je pense..
Mais ensuite, je ne sais pas comment faire pourdéterminer cette limite l ? (Calcul..)
héridité
on suppose que
-1<Un[/sub<0
et montre que f(U[sub]n vérifie la double inégalité
f(Un)=Un+1
utilise la 2b)
je répondais au post de 18-11-17 à 20:04
oups ... c'est illisible....
héridité
on suppose que
-1<Un<0
et montre que f(Un vérifie la double inégalité
f(Un)=Un+1
utilise la 2b) de la partie A
tu ne sais pas rédiger un raisonnement par récurrence
initialisation
U1 ( voir énoncé N*)
U1=-0,25
-1<0,-0,25<0
la propriété est vérifiée
2hérédité
relis mon message
on suppose que
-1<Un<0
et montre que f(Un) vérifie la double inégalité
f(Un)=Un+1
utilise la 2b) de la partie A
Donc :
hérédité
on suppose que
-1<Un<0
On montre que f(Un) vérifie la double inégalité
f(Un)=Un+1
D'après question 2)b) partie A : si x appartient à [-1;0] alors f(x) appartient également à I.
Nous pouvons donc dire que si Un appartient à [-1;0] donc f(Un) appartient à [-1;0] ?
Si oui,je dois justifier par le calcul, non?
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