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étude de fonction fn(x)=x^n+x-1

Posté par
Amanda1703 17-11-12 à 13:49

Bonjour !

J'ai un Devoir Maison à rendre et je bloque, donc ca aurait été génial si qql aurait pu me mettre sur la voie.
Voilà, on me donne la fonction fn(x)=x^n+x-1 définie sur R avec n appartient à N*

1. Montrer que l'équation fn(x)=0 a une unique solution du ]0;1[
2. On note (un) cette solution. Montrer que la suite (un) est majorée.
3. a. démontrer que si x0 est une solution de fn(x)=0, alors fn+1(x0)=x0^n (x0-1)
   b. Déterminer le signe de fn+1(un) puis montrer que (un) est croissante.
4. Démontrer que (un) est une suite convergente.

Je pense avoir réussi la 1, en utilisant le th des valeurs interm appliquées aux fonctions strictement monotomes, j'ai d'abord prouvé que fn est strictement croissante en calculant la dérivée, f'n(x)=nx^n-1 +1 (n>0 donc f'n>0 sur ]0,1[ et f strictement croissante sur ]0,1[ ).

Cependant je reste bloquée à la deux, je vois pas comment (un) qui est l'unique solution de fn(x)=0 sur ]0,1[ peut être une suite et ce qu'elle peut valoir...

Merci d'avance à ceux qui vondront bien m'aider !

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 13:53

puisque pour tout n, u_n\in]0;1[, elles est majorée par 1

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 13:54

f_n(x)=0 a une unique solution sur ]0;1[, tu l'as montré,

cette solution, donnons-lui un nom : je propose de l'appeler u_n

u_n dépend de n : c'est une suite de nombres réels, c'est une suite.

Posté par
Amanda1703re : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 14:21

Est ce que je dois justifier que (un) appartient à ]0,1[ ? Et est ce que je peux dire que (un) est majorée en 1 alors que j'exclue la  valeur 1 dans mon intervalle (je suis désolée si ma question est bête mais nous n'avons pas vu la notion en cours).

Penses-tu que je peux trouver ce que vaut (un) ?

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 17:10

Est ce que je dois justifier que (un) appartient à ]0,1[ ?

oui, bien sûr. Et comment faire ?

f(x)=0 a une solution.

Montrer que l'équation fn(x)=0 a une unique solution du ]0;1[
Je pense avoir réussi la 1, en utilisant le th des valeurs intermédiaires appliquées aux fonctions strictement monotones
Tu as donc justifié pourquoi il existait une seule solution dans ]0;1[

bien

on décide de l'appeler u_n, cette solution.

bien

comment justifier qu'elle est dans ]0;1[ ? d'après toi ?

simplement parce que c'est l'unique solution de f(x)=0 dans l'intervalle ]0;1[

Posté par
Amanda1703re : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 17:15

D'accord merci
Pour justifier qu'elle est majorée par 1, je suis tentée de calculer la limite quand n tend vers +inf ?
Comment est ce que je peux savoir ce que vaut (un) pour calculer la limite ?

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 17:26

j'ose sourire.

quel que soit n, u_n est dans l'intervalle ]0;1[ : de fait tous les termes de la suite (u_n) sont dans cet intervalle


ils ne sont pas à l'extérieur, ils sont DEDANS

ils sont donc tous minorés par 0 (mais aussi par -1, -2, -\pi, -10^{1000}, etc.)

ils sont donc tous majorés par 1 (mais aussi par 2, \pi, 10^{1000}, etc.)

la suite est minorée par 0 et majorée par 1, il n'y avait rien à faire pour le montrer à partir du moment où tu as correctement montré qu'il y avait une unique solution à l'équation f(x)=0 dans cet intervalle, et qu'on a décidé de l'appeler u_n cette solution et d'en faire une suite numérique.

Posté par
Amanda1703re : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 19:04

D'accord ! C'est que j'ai deux questions distinctes donc ca m'a perturbé ^^'

Pour prouver que fn+1(x0)=x0^n (x0-1)
Je pars de x0^n (x0-1) = x0^n+1 - x0^n = x0^n+1 -(1-x0) car x0^n+x0-1=0 et finalement cela est égal à x0^n+1 +x0 -1 c'est à dire fn+1(x0) ???? Je suis désolée cela n'est pas très lisible je ne sais pas comment taper les écritures scientifiques sur le PC..

Pour trouver le signe de fn+1(un) je ne sais pas trop d'où partir, est ce que je peux me baser sur mon équation avec x0 ?? Dans l'énoncé ils disent que x0 est UNE solution de fn+1 donc je sais pas si je peux :S

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 19:15

Voir là pour faire de beaux symboles :
étude de fonction fn(x)=x^n+x-1

3. a. démontrer que si x0 est une solution de fn(x)=0, alors fn+1(x0)=x0^n (x0-1)

f_n(x)=x^n+x+1
soit alors x_0 un réel tel que f_n(x_0)=0
donc (x_0)^n+x_0+1=0
RQ : u_n convient, mais peut-être y en a-t-il d'autres en dehors de l'intervalle ]0;1[

f_{n+1}(x_0)=(x_0)^{n+1}+x_0+1

on regarde le résultat à obtenir, et on se dit que ce serait bien que l'on trouve (x_0)^{n+1}-(x_0)^n

mais justement, on a (x_0)^n+x_0+1=0 donc x_0+1=-(x_0)^n

et donc f_{n+1}(x_0)=(x_0)^{n+1}+x_0+1 devient
f_{n+1}(x_0)=(x_0)^{n+1}-(x_0)^n

finalement, c'était immédiat.

quel est le signe de cette quantité quand x_0=u_n ? que peut-on en déduire entre u_n et u_{n+1} ?

Posté par
Amanda1703re : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 19:23

Puisque fn+1(x0)=x0n(x0-1) et que x0 toujours positif et ](x0-1) toujours négatif, alors fn+1(x0) est toujours négatif ???

Ensuite comment montrer que la suite est croissante ? En faisant fn+1(un)- fn(un) ???

:S

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 19:30

et que x0 toujours positif
non : u_n-1 est toujours négatif
c'est pour cela que je t'ai souligné (j'aurais dû le mettre en gras 18 points) :
RQ : u_n convient, mais peut-être y en a-t-il d'autres en dehors de l'intervalle ]0;1[


et pour la croissance, recoupe un peu les informations que tu as sur la fonction f, ç'est très simple, à condition de se poser et de relire ses notes et de se demander laquelle de note pourrait servir à conclure.

Posté par
Amanda1703re : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 19:44


Si je mets des un partout dans la relation que j'ai trouvé (  fn+1(x0)=x0n(x0-1) ) à la place des x0 cela convient non ? puisque (un) toujours sur ]0,1[ ?

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 19:46

oui, tu as enfin compris la différence entre x_0 et u_n

et pour la croissance ?

Posté par
Amanda1703re : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 19:56

J'avoue que j'ai du mal !
Je sais que :
un est l'unique solution de fn(x)=0 et un et compris entre ]0,1[ et la suite (un) est négative pour tout n de N* .
On sait aussi que f est continue et strictement croissante sur R

Je me doute qu'il faille utiliser le fait que (un) soit négative mais je vois pas --'

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 20:43

f_n(u_n)=0 \\ f_{n+1}(u_n)<0 \\ f_{n+1}(u_{n+1})=0

donc f_{n+1}(u_n)<f_{n+1}(u_{n+1})


or sur ]0;1[, f_{n} est strictement croissante, donc f_{n+1} aussi.

comment sont caractérisées les fonctions strictement croissantes ?

a<b \Leftrightarrow f(a)<f(b)

donc en faisant jouer à u_n et u_{n+1} les rôles de a et b

f_{n+1}(u_n)<f_{n+1}(u_{n+1})\Leftrightarrow u_n<u_{n+1}

Terminé

Posté par
Amanda1703re : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 20:49

Ah d'accord !!! Un grand merci

Et donc pour la derniere question je conclue en disant qu'une suite croissante majorée converge ?

Je te remercie infiniment pour ton aide et ton temps

Posté par
dhaltere : étude de fonction fn(x)=x^n+x-1 17-11-12 à 20:59

bravo

Posté par
whileContinuité de l'exercice 06-10-13 à 16:58

Bonjour,

Je déterre ce topic pour vous poser une question :

la suite (xn) est croissante, majorée par 1, nous sommes d'accord. Comment prouver que la limite est bien égale à 1?

Merci d'avance


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