Niveau Maths sup

étude de fonction inhabituelle...

Posté par bigben67 (invité) 30-12-04 à 13:09

Bonjour, parmis les exercices que je dois faire pour les vacances, celui ci me pose particulièrement problème.
Voici une petite partie de l'énoncé :

f: x->(x^2-1)*arctan(1/(2x-1))
Déterminer une fonction g telle que pour tout x du domaine privé de O, f'(x)=2x g(x)

Tout d'abord arctan((1/(2x-1))=Pi/2*sgn(x)-arctan(2x-1), alors j'ai des problèmes pour dériver f, car j'obtiens des fractions toutes complikées, et la TI me donne la même chose...
De plus, que donne la dérivée de la fonction sgn?

Si qqn peut m'aider, ça serait très chouette...
Merci et bonne année à tous !

Posté par re : étude de fonction inhabituelle... 30-12-04 à 13:30

Bonjour bigben67,

$f(x)=(x^2-1)\times arctan(\frac{1}{2x-1})$

$f=u\times(vow$ ) ou $u(x)=x^2-1$ ; $v(y)=arctan(y)$ et $w(x)=\frac{1}{2x-1}$

là où elle est trivialement dérivable on a alors :

$f^'=u^'\times(vow)+u\times(w^'\times v'ow)$

or $u^'(x)=2x$
$w^'(x)=-\frac{2}{(2x-1)^2}$
et $v^'(w)=\frac{1}{1+w^2}$
donc $(v^'ow)(x)=\frac{1}{1+(\frac{1}{2x-1})^2}=\frac{(2x-1)^2}{(2x-1)^2+1}$

d'où $f'(x)=2x\times arctan(\frac{1}{2x-1})+(x^2-1)\frac{(2x-1)^2}{(2x-1)^2+1}$

d'où $f^'(x)=2x(arctan(\frac{1}{2x-1})+\frac{x^2-1}{2x}\times \frac{(2x-1)^2}{(2x-1)^2+1})$

d'où $g(x)=arctan(\frac{1}{2x-1})+\frac{x^2-1}{2x}\times \frac{(2x-1)^2}{(2x-1)^2+1}$

Salut

Posté par bigben67 (invité)encore l étude de fonction... 30-12-04 à 15:44

Tout d'abord merci à dad97 car vous m'êtes d'une grande aide!

Mais je suis encore bloqué dans un DM sur 2 points.

Premièrement, pour montrer que pour tout x dans R, 2x^4-4x^3+9x^2-4x+1>0
J'ai dérivé 4 fois et j'obtiens que f présente un minimum en f(alpha), ou alpha est la seule valeur d'annulation de f', mais je n'arrive pas à prouver que f(alpha)>0.

De plus, j'ai la fonction f: x -> (x^2-1)*arctan(1/(2x-1))
Mon problème est que f(1/2) = + - 3Pi/8 ! Il y a deux mêmes valeurs. Comment faire le tableu de variation de cette fonction ?

Merci de me répondre, et encore BONNE ANNEE !

*** message déplacé ***

Posté par re : encore l étude de fonction... 30-12-04 à 17:48

Re,

Pour ton duexième problème c'est normal que tu trouves deux valeurs pour 1/2 car c'est une valeur "interdite" (double barre dans le tableau de variation et deux limites distinctes de chaque coté de cette double barre.)

pour ton polynôme, j'avoue une certaine résistance pour l'instant.

Salut

*** message déplacé ***

Posté par re : encore l étude de fonction... 30-12-04 à 17:56

$2x^4-4x^3+9x^2-4x+1=(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)+x^4+3x^2$
$=(x-1)^4+x^2(x^2+3)$

Salut

*** message déplacé ***

Posté par bigben67 (invité)re : encore l étude de fonction... 30-12-04 à 18:31

Trop bien merci encor dad97, c vraiment super sympa de ta part !!
T le meilleur

*** message déplacé ***

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