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Étude de fonction ln

Posté par
Samsco 06-05-20 à 13:20

Bonjour j'ai besoin que vous vérifiez ce que j'ai fait svp

Exercice :

Soit la fonction f définie par:

\left\lbrace\begin{array} l f(x)=\dfrac{x}{\ln x}~,si~x\neq0 \\ f(0)=0 \end{array}

1.Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

2. Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative.

Réponses :

1. Étude de la continuité et de la dérivabilité de f en 0

La fonction f est définie sur [0~;~+\infty[

* \lim_{x\to 0 \atop x>0}f(x)=\lim_{x\to 0 \atop x>0}[x/(\ln x)]
Je vois pas comment déterminer cette limite

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 13:29

reBonjour
elle n'est pas indéterminée !
cherche les limites du numérateur et du dénominateur

Posté par
ciocciure : Étude de fonction ln 06-05-20 à 13:29

Salut
Bin y'a pas de forme indéterminée là
C'est    x (1/lnx)
Donc tu dois pourvoir trouver la limite en 0

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 13:33

Bonjour,
La fonction f est définie sur [0~;~+\infty[
  A vérifier

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 14:02

f(0) existe donc elle est définie en zéro

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 14:06

  on sait que   f  est définie en 0 puisque f(0)=0
f n'est définie pas  sur  [ 0;+∞[
  

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 14:06

à justifier

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 14:07

\lim_{x\to 0 \atop x>0}x=0 \\ \\ \lim_{x\to 0 \atop x>0 }\ln x=-\infty

\lim_{x\to 0 \atop x>0}f(x)=\lim_{x\to \atop x>0}[x(1/ \ln x)]=0

\lim_{x\to 0 \atop x>0}f(x)=f(0)
Donc f est continue en 0

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 14:10

f existe ssi ln x≠0 et x≥0
f existe ssi x≠1 et x≥0
Df=[0 ; 1[U]1 ; +[

Posté par
malou Webmasterre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 14:19

nettement mieux

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 14:26

OK
* Dérivabilité de f en 0

\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{x/(\ln x)-0}{x}=\dfrac{x}{x.\ln x}=\dfrac{1}{\ln x} \\ \\ \lim_{x\to \atop x>0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=0
Donc f est dérivable en 0

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 16:48

Étude de la fonction f

*Ensemble de définition

La fonction f est définie sur [0 ; 1[U]1 ; +[

* Dérivée et sens de variation

La fonction est f est dérivable sur [0 ; 1[U]1 ; +[ et sa dérivée est la fonction f' définie par :

\left\lbrace\begin{array} l f'(x)=\dfrac{ln x-1}{\ln²x}~si~x\neq 0 \\ f'(0)=0 \end{array}

_Si x \in ]0~;~1[\cup]1~;~+\infty[~,~f'(x)=0 \iff \ln x-1=0 \iff x=e
Si x=0~,~f'(x)=0 \iff x=0

Comment étudier le signe de la fonction ?

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 17:07

  dans ce message  06-05-20 à 14:26
Pour la dérivabilité   en 0  ,
tu as juste prouvé  la dérivabilité à droite de  0 .
message suivant
détermine le signe  de la dérivée sur chaque intervalle , tu n'indiques que la valeur qui l'annule  pour en déduire les variations de f



  

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 17:47

Pour : 06-05-20 à 14h26

La fonction n'est pas définie  à droite de 0

message suivant

_ Comme ln²x>0 alors le signe de f'(x) est celui ln x - 1
\forall x>0~,~\ln x-1>0 \iff \ln x>1 \iff x>e
\forall x>0~,~\ln x-1<0 \iff \ln x<1 \iff x \in ]0~;~1[\cup]1~;~e[

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 18:21

Est ce que c'est juste?

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 18:33

Soit la fonction f définie par:

\left\lbrace\begin{array} l f(x)=\dfrac{x}{\ln x}~,si~x\neq0 \\ f(0)=0 \end{array}
en  0
f(x)=0  ,et tu n'as pas déterminé la dérivée f'g
à droite de 0  
f(x)=\dfrac{x}{\ln x}
ton calcul  montre que tu  as cherché la limite du taux de variation  de f lorsque x tend vers  0+sachant que f(0)=0
f'd=0
  f est dérivable en 0 si et seulement  si f'g=f'd

OK pour le signe de la dérivée
    

  

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 19:00

Mais la fonction n'est pas définie à droite de droite alors je fais comment ?
Est ce que ça signifie qu'elle n'est pas dérivable en 0?

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 19:31

tu connais la valeur de la fonction pour x=0   f(0)=0
à droite de 0
f(x)=x/ln(x)
Pour déterminer la dérivée ,il faut revenir à la définition de la dérivée tu calcules alors
\dfrac{f(0+h) -f({\red{f(0)}}}{h}=\dfrac{f(h)-{\red{0}}}{h}

=\dfrac{\dfrac{h}{ln(h)^2}}{h}

\lim_{h\into 0^+}=\dfrac{\dfrac{h}{ln(h)^2}}{h}=0   donc

f'_d(0)=0

pour 0
  Quelle la dérivée  de f lorsque   f est définie  par
si  x=0  alors f(x)=0
f'g=.......
  les deux dérivées sont -elles égales ?

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 19:50

si x=0 f(x)=0 et f'(x)=0
Je ne vois pas le rapport avec la dérivée à droite de 0

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 20:07

comment trouves- tu  que   la fonction  valeur  absolue n'est pas dérivable en 0?

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 20:11

|x|=x si x≥0
et
|x|=-x si x≤0

On étudie la limite à gauche et à droite du taux d'accroissement en 0
Et on trouve f'g(0)≠f'd(0)
Donc la fonction n'est pas dérivable en 0

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 06-05-20 à 21:02

tu as donc  fait:
limite à gauche et à droite du taux d'accroissement en 0 ,qui est par définition le nombre
dérivé

fait  de même  pour ta fonction f défini par morceaux
si x=0  f(0)=0    quelle   est  la dérivée de f  dans ce cas
et si  x>0  ,sachant  f(0)=0   et  dans ce x se situe à droite de zéro
et f(x)=x/ln(x)   quelle la dérivée quand x tend vers 0  

je supprime un f  tapé en trop, lors de mon précédent message
\dfrac{f(0+h) -{\red{f(0)}}}{h}= \\




  

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 06-05-20 à 21:37

\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{1}{\ln h} \\ \\

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 07-05-20 à 08:35

   pour avoir le nombre dérivé , il faut chercher la limite   du  taux de variation  quand h tend vers zéro.

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 07-05-20 à 14:06

\lim_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=+\infty

Donc f n'est pas dérivable en 0

Si j'avais trouvé "0" comme résultat à lors la fonction serait dérivable en 0 non?

Posté par
Yzzre : Étude de fonction ln 07-05-20 à 14:47

Salut,

Je passais par hasard... Deux choses :
C'est la limite lorsque h tend vers 0 , et non x
La limite en 0 de 1/ln(h) n'est pas égale à +

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 07-05-20 à 17:27

Ah

\lim_{h \to 0 \atop h>0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to 0 \atop h>0}\dfrac{1}{ln h}=0 \\ \\ Car~\forall h>0~,\lim_{h\to 0 \atop h>0}ln h=-\infty

Posté par
Yzzre : Étude de fonction ln 07-05-20 à 18:31

C'est mieux, oui.

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 07-05-20 à 18:36

Ça signifie que que la fonction est dérivable en 0 non?

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 07-05-20 à 19:02

Bonsoir Yzz
( bon courage  pour l'éventuelle reprise des lyceés , collèges , je suis contente d'être à la retraite  depuis un certain temps....)

Samsco
Ça signifie que que la fonction est dérivable en 0 non?
tu pourras le justifier que lorsque tu auras déterminer  f' pour chaque intervalle
\left\lbrace\begin{array} l f(x)=\dfrac{x}{\ln x}~,si~x\neq0 \\ f(0)=0 \end{array}
peut être qu'en notant  f1 l'espression  de f sur ]0,1[U]1;+∞[
et f2 l'expression de f  pour x=0
  (ça sera plus simple que  0 à droite et  et 0 à gauche)
  si  f1(x)=x/ln(x)  alors  f'1(0)=0
si   f2(0)=0    alors f'2(0)=......... tu n'as pas encore précisé cette valeur
ensuite compare
f'1(0)  et f'2(0)  
si tu traçais les tangentes à la courbe  au point  de coordonnées (0;0) que constaterais -tu ?

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 07-05-20 à 20:58

f2(0)=0 alors f'2(0)=0
Ou encore

\dfrac{f_2(0+h)-f_2(0)}{h}=\dfrac{0-0}{h}=0 \\ \\ \lim_{h \to 0 }f_2(x)=0

donc f'2(0)=0

f'1(0)=f'2(0)

La tangente au point de coordonnées (0;0) serait horizontale

Donc f est dérivable en 0

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 07-05-20 à 21:12

OK  tres bien

Posté par
Yzzre : Étude de fonction ln 07-05-20 à 21:53

Salut PLSVU  
C'est assez tranquille en fait pour nous (pas de reprise avant juin pour les lycées ; et même après il n'y a rien de certain... et même pour septembre !) . Bien plus tendu chez les petits !!! (ma femme est instit' en maternelle, et c'est l'angoisse ! )

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 07-05-20 à 22:09

Pour l'etude la fonction

Pour déterminer la dérivée

Est ce que je détermine la dérivée quand x≠0 et quand f(x)=0 ?
Et est ce que c'est pareil pour le signe de la dérivée ?

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 08-05-20 à 09:22

     f2  est définie pour une seule valeur    .  .
tu étudies f1sur ]0,1[ U]1;+∞[
  signe de la dérivée de f1

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 08-05-20 à 14:34

Étude de la fonction f

Soit f1, la fonction f1(x)=x/(ln x) si x≠0 et f2 la fonction f2(x)=0

La fonction f est définie par :


\left\lbrace\begin{array} l f_1(x)=\dfrac{x}{\ln x}~,si~x\neq0 \\ f_2(0)=0 \end{array}

*Ensemble de définition

La fonction f est définie sur [0 ; 1[U]1 ; +[

* Dérivée et sens de variation

La fonction est f est dérivable sur [0 ; 1[U]1 ; +[ et sa dérivée est la fonction f' définie par :

\left\lbrace\begin{array} l f_1'(x)=\dfrac{ln x-1}{\ln²x}~si~x\neq 0 \\ f_2'(0)=0 \end{array}

_Si x \in ]0~;~1[\cup]1~;~+\infty[~,~f'_1(x)=0 \iff \ln x-1=0 \iff x=e

*Si x≠0

_ Comme ln²x>0 alors le signe de f'(x) est celui ln x - 1
\forall x>0~,~\ln x-1>0 \iff \ln x>1 \iff x>e
\forall x>0~,~\ln x-1<0 \iff \ln x<1 \iff x \in ]0~;~1[\cup]1~;~e[

\forall x \in ]0~;~1[\cup]1~;~e[~,f'_1(x)<0 \\ \\ \forall x \in ]e~;~+\infty[~,f'_1(x)>0

* Étude aux bornes de l'ensemble de définition

* \lim_{x\to 0 }f_2(x)=0

* \lim_{x \to 1 \atop x<1}f_1(x)=\lim_{x\to 1 \atop x<1}\dfrac{x}{\ln x}=-\infty

* \lim_{x \to 1 \atop x>1}f_1(x)=\lim_{x \to 1 \atop x>1}\dfrac{x}{\ln x}=+\infty

* \lim_{x\to +\infty}f_1(x)=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{\ln x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\frac{\ln x}{x}}=+\infty

*Tableau de variation

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 08-05-20 à 14:35

Comment je dois présenter le tableau de variation ?

Posté par
alb12re : Étude de fonction ln 08-05-20 à 14:56

salut,
un peu comme ça

\\ \left(\begin{array}{ccccccccc} \\ x & 0 &   & 1 & 1 &   & e^{1} &   & +\infty  \\ \\ y'=(\frac{(\ln\left(x\right)-1)}{\ln\left(x\right)^{2}}) & 0 & - & \mathrm{||} & \mathrm{||} & - & 0 & + & 0 \\ \\ y=(\frac{x}{\ln\left(x\right)}) & 0 & \searrow  & -\infty  & +\infty  & \searrow  & e^{1} & \nearrow  & +\infty \\ \end{array}\right) \\

Posté par
alb12re : Étude de fonction ln 08-05-20 à 15:00

un site sympa

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 08-05-20 à 16:05

alb12 @ 08-05-2020 à 15:00

un site sympa

Le site est bien sympa mais comment entrer des fonctions rationnelles?
Quand je tap e x/(ln(x)) ,c'est l'étude de la fonction ln(x) que ça donne

Posté par
alb12re : Étude de fonction ln 08-05-20 à 16:11

aucun pb visible chez moi, j'ai tape x/ln(x)

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 08-05-20 à 16:16

alb12 @ 08-05-2020 à 16:11

aucun pb visible chez moi, j'ai tape x/ln(x)

Ah bon

Posté par
Samscore : Étude de fonction ln 08-05-20 à 16:27

Merci pour tout !

Posté par
PLSVUre : Étude de fonction ln 08-05-20 à 16:53


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