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étude de fonction logathrime népérien
Bonsoir
Énoncé
Cet exercice est l étude de la fonction f définie sur [0,+infini[ par xln(x+2/x)+x/4+1/2 pour x>0 et f(0)=1/2
Est rapporté au repéré orthonormal (o,i,j) unité graphique :
On designe par sa representation graphique de f.
Une fonction auxiliaire définie sur ]0,+infini[ par
g(x)=ln(x+2)-lnx-2/(x+2)+1/4
1/a.étudier le sens de variation de g.
b/ déterminer la limite de g en + infini
c/en déduire le signe de g(x) pour x de ]0,+infini[
2/montrer que pour tout x de [2,3] on a g(x)<1/2
||.1.déterminer la limite quand x tend vers zéro par les valeurs strictement positives de xln(x+2/(x))(on pourra poser x=1/t) et démonter que f est continue en 0.
2/la fonction f est elle dérivable en 0?Donner une interprétation graphique du résultat.
3/étudier le sens de variation de f(on verifiera f'(x)=g(x))
4a/démontrer que la de xln(x+2/(x) en infini est égale a 2
(On pourra utiliser le résultat :
Lim ln(1+h)/(h)=1
h =>0
b/en déduire la limite de f en +infini.
C/montrer que la droite ∆ d équation y=x/4+5/2 est asymptote a C au voisinage de +infini
5/tracer dans le repéré,la droite ∆,la courbe et la droite D d équation y=x
Réponse
Question 1a
g'(x)=1/(x+2)-1/x-2*-1/(x+2)^2
g'(x)=-2x-2/x(x+2)^2
Pour x appartenant ]0,+infini[, (x+2)^2>0, le signe g'(x) est donc du signe de -2x-2/(x)
Pour x appartenant]-infini,1[U]0,+infini[,g'(x)>0 ,donc g est strictement décroissant.
Pour x appartenant]-1,0[,g'(x)>0, donc g est strictement croissant
Question 1b
En + infini
Lim g(x)=lim ln(x+2/x)-2/(x+2)+1/4
Lim ln(x+2/x)=0 et lim 2/(x+2)=0
Lim g(x)=1/4
Question 2
J ai besoin d aider
salut
à nouveau ceci n'est pas compréhensible :
f définie sur [0,+infini[ par f(x) = xln(x+2/x)+x/4+1/2 pour x>0 et f(0)=1/2
Est rapporté au repéré orthonormal (o,i,j) unité graphique :
On designe par sa representation graphique de f. ne veut rien dire
[...]
||.1.déterminer la limite quand x tend vers zéro par les valeurs strictement positives de xln(x+2/(x))(on pourra poser x=1/t) et démonter que f est continue en 0.
à quoi servnet les parenthèses autour de x ?
il y par contre une différence entre (x + 2) x et x + 2/x !!
Salut,
Pas vérifié tes calculs, cependant :
f définie sur [0,+infini[ par xln(x+2/x)+x/4+1/2
Pour x appartenant]-infini,1[U]0,+infini[,g'(x)>0 ,donc g est strictement décroissant.
Pour x appartenant]-1,0[,g'(x)>0, donc g est strictement croissant
Maintenant, si tes résultats sont justes, pour le c : quel est le signe d'une fonction décroissante sur ]0,+infini[ dont la limite en + l'infini est égale à 1/4 ?
Bonsoir
f(x)=x()+
+
Question 1a
J ai calcule la dérivée j ai trouvé ceci
g'(x)=
Est ce que c est correct ?
Question 1c
f est strictement décroissant sur ]0,+infini[ et lim g(x)=1/4
Pour tout x de ]0,+infini[, g(x)>0
Question c
g est strictement décroissant sur ]0,+infini[ et lim g(x)=1/4
Pour tout x de ]0,+infini[, g(x)>0
2/montrer que pour tout x de [2,3] on a g(x)<1/2
Valeur de g(2) ?
Conclusion ?
Pour x appartenant] 2,0[,donc g est strictement décroissant
Pour x appartenant] 0,3[,donc g est strictement croissant
g(2)=ln4-ln2-1/4
g(2)=ln2-1/4
Conclusion
Pour tout x de [2,3],on a g(x)<1/2
Totalement contradictoire
g est strictement décroissant sur ]0,+infini[
Pour x appartenant] 2,0[,donc g est strictement décroissant
Pour x appartenant] 0,3[,donc g est strictement croissant
g est strictement décroissant sur [2,3]
g(2)=ln2-1/4 < 1/2
Conclusion.
Pour tout x de [2,3],g(x)<1/2
Bonjour
||.question 1
xln[(x+2)/x]=1/t*ln(1+2t)
Comment calculer la limite en 0 par valeur strictement positive
xln[(x+2)/x]=1/t*ln(1+2t) en posant t = ...
Comment calculer la limite en 0 par valeur strictement positive
En utilisant la définition de la dérivée en 0 d'une fonction à déterminer
... Y'a pas comme un double post là ? 
fonction ln
f(x)=xln(x+2)-xlnx+x/4+1/2
La limite en zéro
Lim xln(x+2)=0
Lim xln(x)=0
Lim x/4=0
Lim f(x)=1/2
Comme f(0)=lim f(x)=1/2
Donc f est continue en 0
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