Nous avons un petit peu de mal avec notre exo sur les fonctions qui sera surment noté! arg :'(. Un petit coup de pouce serez le bienvenue! merci @ tous d'avance.

On considère la fonction définie par

f(x)=arcsin((2(x))/(1+x))

1.Sur quel ensemble la fonction est-elle définie? Continue? Dérivable?

2.Calculer et simplifiée la fonction dérivée de f(x)

3.Déterminer le signe de f' sur l'ensemble de dérivalilité.

4.En déduire le tableau des variations de f

5.Compléter soigneusement ce tableau en calculant les limites aux bornes de l'ensemble de définition de f

6.Etudier soigneusement le comportement asymptotique de f

7.Donner les équations des tangentes à la courbe aux points remarquables.

8.Sur un même graphique, tracer les tangentes1, les asympotes et la courbe représentative de f

9.Calculer la fonction dérivée de g(x)=2arctan((x)). En déduire une expression simplifiée de sur son ensemble de définition.

Points d'inflexion

On considère la fonction définie par f(x)=(2+ln(x-2))/(x-2)

1.Quels sont les ensembles de définition et de dérivabilité de f?

2.Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.

3.Interpréter graphiquement les résultats de la question précédente.

4.Dresser le tableau des variations de la fonction f

5.Préciser les extrémums de f sur son ensemble de définition.

6.Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle ]1;7]

On se propose maintenant d'étudier les points d'inflexion de la courbe représentative de f. Par définition, un point M0(x0;f(x0)) de la courbe représentative de f est un point d'inflexion, si la courbe change de concavité en ce point, c'est-à-dire que la courbe traverse sa tangente en ce point: la quantité f(x)-(f'(x0)(x-x0)-f(x0)) change de signe au voisinage de x0. On démontre alors que si la fonction est de classe C², alors pour que M0(x0;f(x0)) soit un point d'inflexion, il suffit que la dérivée seconde de f s'annule en x0 tout en changeant de signe. Démontrons (sans mupad) cette propriété.
On pose h(x)=f(x)-(f'(x0)(x-x0)-f(x0)) et on suppose que f''(x)<0 si x<x0 et f''(x)>0 si x>x0
8.Calculer h'(x) et h''(x)

9.Dresser le tableau des variations avec 4 lignes : x , h''(x) , h'(x) , h(x)

10.Conclure. Fin de la démonstration

11.Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de f

12.Déterminer une équation de la tangente en ce point.

13.Représenter graphiquement sur [x0-0,5;x0+1] la courbe et sa tangente