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Niveau Prepa (autre)
Etude de l'équation polynomiale P(X²)=P(X+a)P(X+b)
Posté par lilian934
Bonsoir,
En cherchant un exercice ayant pour but de déterminer toutes les solutions de l'équation (Ea,b): P(X²)=P(X+a)P(X+b)
Une question un peu à part dans le problème m'a posé quelques soucis.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses et je vous mets l'énoncé ci-dessous:
Soit P
[X] un polynôme unitaire
On suppose qu'il existe n
* tel que : Pn est solution de (Ea,b)
On note pour tout k [|0,n-1|] 
k = e2ki
/n
Montrer que pour tous A,B [X] :
An - Bn = 
(A-kB)
(Le produit allant de k=0 à n-1)
Pour y répondre j'ai tout d'abord essayé d'utiliser le logarithme puis une récurrence mais en vain ces deux idées ne m'ont guère faits avancer.
Si u est une racine du polynôme de droite alors il existe k tq A(u) = w_kB(u) donc A(u)^n = B(u)^n, ce qui veut dire que u est aussi une racine du polynôme de gauche.
Et maintenant, si u est une racine du polynôme de gauche, montre nous que c'est aussi une racine du polynôme de droite. Tes polynômes auront les mêmes racines donc seront proportionnels... 
OK, et en raisonnant par l'absurde on peut montrer en considérant une racine du polynôme de gauche que les racines ne sont pas distinctes. Mais comment fait on pour justifier que le rapport de proportionnalité est égal à 1.
salut
peut-être en regardant le coefficient dominant ou le terme constant de ces deux polynômes (à gauche et à droite)
Bonjour 
Tout polynôme (non constant)
de
admet les mêmes racines que son carré (par exemple)
et pourtant et
ne sont pas proportionnels !
Une idée de solution serait probablement de partir de l'identité (facile à établir) :
puis substituer à l'indéterminée la fraction complexe
sauf erreur de ma part bien entendu
Justement, c'est pour ça qu'il faut aborder le sujet du degré de ce polynôme en fonctions de ceux de A et B, mais je ne vais pas tout faire 
Je détaille l'idée de solution :
L'égalité demandée
est équivalente (le corps étant infini) à l'égalité des fonctions polynomiales associées :
.
Or si
, cette dernière est triviale,
et si
, ...
Bonjour,
@lilian934,
Si tu nous donnais l'énoncé complet de l'exercice ?
Il doit être intéressant.
Comme tu as déjà recopié une partie suffisante, tu peux le scanner.
Bonsoir,
A la demande de @Sylvieg je vous poste l'intégralité du sujet qui est un DM qui a été donné cette année en CPGE.
Je souhaite bonne réflexion à ceux qui voudront comme moi aborder ce problème.
PDF - 75 Ko
Je trouve qu'il manque quelque chose dans la seconde partie de l'exercice :
Travaille-t-on dans le vide ?
Faire vérifier un ou deux exemples aurait été sympa.
J'ai ouvert un autre sujet pour tenter de voir si on peut en trouver facilement, et s'il y a des conditions sur les complexes a et b.