Bonjours , je suis en terminal S et j'ai du mal a faire cet exercice:

Soit k ∈ ]0 : +∞[ et sot gk la fonction définie sur R par : gk(x)=e^(-kx^(2))

On appelle courbe de gauss (ou gaussienne) la courbe représentative de la fonction gk dans un repère orthogonal. On note Ck cette courbe

1) Dresser le tableau de variation de la fonction gk (limites incluses).

2) justifier que Ck est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3) soit k1 et k2 deux réels strictement positifs, montrer que si k1 … k2, alors Ck1 est au dessus de Ck2.

4) on appelle point d'inflexion de la courbe Ck tout point dont l'abscisse annule la fonction dérivée seconde gk''
Déterminer les points d'inflexion de la courbe Ck

5) démontrer que, pour tout réel k, les points d'inflexion des gaussiennes Ck sont alignés.

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J'ai essayer de commencer chaque question mais je n'arrive à terminer. Ce que j'ai fait :

1) gk'(x)= -2kx* e^(-kx^(2))

gk(0)= e^(-k0^(2)) = e^0 =1

- pour k >0 :
gk(x)= e^(-kx^(2))= 1/( e^(kx^(2)))
lim en +∞ : e^(kx^(2)))= + ∞
donc lim en +∞ : 1/( e^(kx^(2))) = 0
Quand je fait le tableau de variation je trouve que la fonction est décroissante sur ]0 : +∞[

- pour k<0 k= -q

e^(-kx^(2)) = e^(-(-q)x^(2)) = e^(qx^(2))
lim en +∞ : e^(qx^(2)) = +∞
Quand je fait le tableau de variation je trouve que la fonction est croissante sur ]0 : +∞[

Mon problème c'est que dans la consigne on demande un tableau de variation de la fonction gk et pas 2. Donc je ne sais pas comment faire

2) gk(x)=e^(-k*(x)^(2))

gk(-x)=e^(-k*(-x)^(2))
= e^(-k*(-x)*(-x))
=e^(-k*(x)^(2)) =gk(x)
gk(-x)=gk(x) donc Ck est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
Cette question je pense l'avoir fini

3) ici j'ai essayé de le démontrer par récurrence mais je suis si c'est possible de passer de :
e^(-k1*x^(2)) > e^(-k2*x^(2))
à
e^(-k1*(x+1)^(2)) > e^(-k2*(x+1)^(2))


4) gk'(x)= -2kx* e^(-kx^(2))

gk''(x)= -2k*(-2kx)*e^(-kx^(2))-2kx*e^(-kx^(2))
= 4k^(2)*x*e^(-kx^(2))-2kx*e^(-kx^(2))
= e^(-kx^(2))*(4k^(2)*x-2kx)
= xe^(-kx^(2))*(4k^(2)-2k)

4k^(2)-2k
Δ= (-2)^(2)-4*4*0
Δ=4
Δ> 0 donc il y a 2 racines

k'=(2-√(4))/(2*4)= 0
k''=(2+√(4))/(2*4)=4/8=1/2

xe^(-kx^(2))=0
x=0
je sais pas si c'est ça et si c'est suffisant


5) je sais pas vraiment risque j'ai pas encore trouvé les points d'inflexion


merci beaucoup de m'aider dans mes recherches