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Etude de la fonction inverse conjuguée

Posté par
Kernelpanic 26-01-20 à 11:58

Bonjour à tous,

je bloque sur un exercice d'analyse complexe. J'aimerais démontrer que l'image d'un cercle ne passant pas par 0 par la fonction f

z \mapsto \dfrac{1}{\overline{z}}

est un cercle ne passant pas par 0.

J'ai compris que cette fonction était juste "une sorte d'homothétie" au sens où un complexe re^{i\theta} est envoyé sur

\dfrac{1}{r}e^{i\theta} (on garde le même angle mais on diminue ou augmente le module). C'est assez simple de voir le résultat avec des dessins, mais pour le prouver c'est autre chose. Avec mes notations, on a :

z1 = f(E)
z2 = f(D)
z3 = f(B)

le cercle de départ étant celui de centre A et l'image de ce cercle étant le petit.

Je voulais d'abord prouver que tout point du cercle de centre A que je note z vérifie

|f(z) - \dfrac{z_1 + z_2}{2}| = |\dfrac{z_1 - z_2}{2} |

mais je n'ai pas réussi. J'ai aussi pensé à montrer que le triangle EDz était semblable au triangle f(E)f(D)f(z) pour conserver l'angle droit (étant donné qu'un point z appartient au cercle de centre A ssi le triangle EDz est rectangle en z) mais ça n'a pas été concluant.

Auriez-vous des pistes ? Merci d'avance.

Etude de la fonction inverse conjuguée

Posté par
Kernelpanicre : Etude de la fonction inverse conjuguée 26-01-20 à 12:19

Pour les futurs intervenants, je dois m'absenter, je reviens en début d'après-midi. Ne soyez pas offusqués si je ne réponds pas tout de suite

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de la fonction inverse conjuguée 26-01-20 à 12:28

Bonjour, "une sorte d'homothétie", non une inversion plutôt OM.OM' = 1

montrer que l'image d'un cercle ne passant pas par le pôle est un cercle se montre facilement en montant que le cercle image peut être trouvé par homothétie aussi, en utilisant la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle (voir théorème 4 ici par exemple : ou sur le site de mathafou)

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de la fonction inverse conjuguée 26-01-20 à 12:47

Cela dit, si tu veux le démontrer avec des complexes, ça doit être possible.

tu poses le premier cercle z = z0+reia
tu en déduis z' = 1/( z0+re -ia)
multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur et montre qu'on retombe bien
sur une forme z' = z'0+r'eib

Posté par
Kernelpanicre : Etude de la fonction inverse conjuguée 26-01-20 à 13:29

Bonjour Glapion, en effet ce n'était peut-être pas le bon terme que j'ai employé...
Je te remercie, je file regarder le théorème en question.

Bonne journée.

Posté par
matheuxmatoure : Etude de la fonction inverse conjuguée 26-01-20 à 18:24

on remarquera que :
si l'ensemble M' est l'image de M par l'inversion
si P est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle t

alors l'image P' de P par l'inversion est aussi l'image de M' par la rotation de centre O et d'angle t

moralité : il suffit de regarder dans une direction ce qui s'y passe...

donc il suffit de transformer un cercle dont le centre est sur la demi-droite +

ce qui simplifie bien les calculs...

Posté par
matheuxmatoure : Etude de la fonction inverse conjuguée 26-01-20 à 18:24

* le point M' ...

Posté par
matheuxmatoure : Etude de la fonction inverse conjuguée 26-01-20 à 18:38

pour dire les choses plus simplement :

cette inversion commute avec toutes les rotations de centre O puisque

f(eit.z) = eit.f(z)

de plus un point d'affixe z est sur le cercle de centre d'affixe u, réel positif, et de rayon r si et seulement si

z.\bar{z} - u.(z+\bar{z}) = r^2 - u^2

en divisant par z.\bar{z} (comme le cercle ne passe pas par O)

on aboutit à (avec z'=f(z) ):

z'.\bar{z'} - \dfrac{u}{u^2-r^2}.(z' + \bar{z'}=\left(\dfrac{r}{u^2-r^2}\right)^2-\left(\dfrac{u}{u^2-r^2}\right)^2  

ce qui nous donne bien un cercle avec son centre et son rayon...

Posté par
matheuxmatoure : Etude de la fonction inverse conjuguée 29-01-20 à 18:08

Kernelpanic
je me suis permis de t'envoyer un document de ma composition sur le sujet à l'adresse mentionnée dans ton profil...

Posté par
Kernelpanicre : Etude de la fonction inverse conjuguée 29-01-20 à 20:39

Bonsoir matheuxmatou, désolé de ne pas avoir répondu plus tôt (les révisions...).
Je regarde ça demain soir, j'ai un petit livre d'algèbre à terminer pour ce soir déjà !
Mais je te remercie (d'avance) GRANDEMENT de ton implication dans le sujet, je n'en attendais pas autant !

Je te souhaite une excellente soirée (je te poserai des questions éventuellement si je ne comprends pas certaines choses dans ton document)

Posté par
matheuxmatoure : Etude de la fonction inverse conjuguée 29-01-20 à 23:33

Kernelpanic
oui, tu peux me répondre sur ma boite si besoin.


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