Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Prepa (autre)
Partager :

étude de la suite de fibonacci

Posté par
romy14356
10-09-21 à 17:35

Bonjour à tous, cela fais quelques heures maintenant que je bloque sur un exercice de mon DM de maths ... Voici son intitulé :

On considère la suite de Fibonacci (Un) définie par:
U[0]=0 , U[1]=1 et pour tout n entier on a U[n+2]=U[n+1]+Un

Q1: Montrer que tous les termes de la suite (Un) sont des entiers naturels.

Q2: Montrer par récurrence que pour tout n>=2, U[n+1]>=3/2(U[n]).


La question 1 ne me pose pas de soucis en soit, la suite de Fibonacci étant la somme de nombres consécutifs, si on prend U[0]=0 et U[1]=1 il est évident que tous les termes soient des entiers.
Mais y a t'il une façon plus scientifique de le montrer ?
Une récurrence est-elle pertinente ici ?

Ensuite pour la deuxième question je suis complètement bloquée.
J'ai fait mon initialisation sans problème mais pour l'hérédité c'est une autre histoire..

j'ai commencé comme ça :
            U[n+1]>=3/2(U[n])
<=>   U[n+2]>=3/2(U[n])+U[n]

mais j'ai beau tourner l'inéquation dans tous les sens je n'arrive pas à retomber sur U[n+1] à droite...

Auriez-vous des pistes pour m'aider ?
Merci par avance pour votre attention et le temps que vous accepterez de m'accorder !

Posté par
WilliamM007
re : étude de la suite de fibonacci 10-09-21 à 17:45

Bonjour.

Citation :
La question 1 ne me pose pas de soucis en soit, la suite de Fibonacci étant la somme de nombres consécutifs, si on prend U[0]=0 et U[1]=1 il est évident que tous les termes soient des entiers.
Mais y a t'il une façon plus scientifique de le montrer ?
Une récurrence est-elle pertinente ici ?

Je ne suis pas très convaincu par l'emploi du mot "consécutif". Et sinon, personnellement je vois mal comment montrer cette assertion rigoureusement sans récurrence.

Citation :
Ensuite pour la deuxième question je suis complètement bloquée.

Je te suggère une récurrence qu'on appelle parfois "forte" (je n'ai jamais aimé ce terme...). En l'occurence, suppose la propriété vérifiée au rang n, mais aussi au rang n-1. Et essaie de le prouver au rang n+1.

Posté par
Poipoi34
re : étude de la suite de fibonacci 11-09-21 à 11:47

pas besoin de récurrence forte. Mon conseil: exprimer ce que tu veux montrer apres avoir fait l'hypothèse de récurrence et essayer de le montrer. Un indice: on utilisera la croissance de la suite.

Posté par
WilliamM007
re : étude de la suite de fibonacci 11-09-21 à 11:53

Poipoi34 @ 11-09-2021 à 11:47

pas besoin de récurrence forte. Mon conseil: exprimer ce que tu veux montrer apres avoir fait l'hypothèse de récurrence et essayer de le montrer. Un indice: on utilisera la croissance de la suite.

Posté par
Poipoi34
re : étude de la suite de fibonacci 11-09-21 à 12:18

je rectifie mon post, si on ne suppose pas la croissance de la suite, on a bien besoin de récurrence forte.

Posté par
WilliamM007
re : étude de la suite de fibonacci 11-09-21 à 12:33

Je pense que la croissance est évidente, mais même avec ça, je ne vois pas comment faire avec une récurrence simple. Je loupe peut-être un truc évident

Posté par
Poipoi34
re : étude de la suite de fibonacci 11-09-21 à 16:48

en fait même pas besoin de récurrence la démonstration est directe (attention spoiler):
U_n >= \frac{1}{2} * (U_n + U_{n-1}) >= \frac{1}{2}*U_{n+1}
donc
U_n + U_{n+1} = U_{n+2} >= \frac{3}{2}*U_{n+1}

Posté par
Poipoi34
re : étude de la suite de fibonacci 11-09-21 à 16:50

Poipoi34 @ 11-09-2021 à 16:48

en fait même pas besoin de récurrence la démonstration est directe (attention spoiler):
U_n >= \frac{1}{2} * (U_n + U_{n-1}) = \frac{1}{2}*U_{n+1}
donc
U_n + U_{n+1} = U_{n+2} >= \frac{3}{2}*U_{n+1}

Posté par
carpediem
re : étude de la suite de fibonacci 11-09-21 à 18:17

salut

Poipoi34 @ 11-09-2021 à 16:48

U_n \ge \frac{1}{2} * (U_n + U_{n-1})    pour écrire cette inégalité il faut savoir que la suite est croissante ...

Posté par
WilliamM007
re : étude de la suite de fibonacci 11-09-21 à 18:21

Ah oui c'est joli comme ça !



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1538 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !