Bonjour,

Pour une suite à termes positifs, on peut comparer le rapport à

Bonjour,

salut

lake : ce résultat n'est pas au programme de toutes les premières ... s'il est encore au programme en première !!!

fofoz @ 12-01-2022 à 14:04


Pour mon calcul un+1 - un je trouve comme résultat 2n en faisant :
n^2 + 2n + 1 / 2^n+1 - n^2 / 2^n   je ne vois aucun calcul mis à part le développement de (n + 1)^2 qui est sans intérêt quand on ne sait pas pourquoi on le fait ...
je pense que c'est pas normal si quelqu'un peut m'aider merci

Bonjour Glapion,

Je n'avais pas vu ceci :

  

Bonjour Carpediem,    

Effectivement : les "programmes", je suis un peu dépassé ...
Mais qu'apprend-on encore au lycée ?
Bon, décidément, j'abandonne

malheureusement si peu ...

bonjour à vous,
je me permets de préciser mes intentions.

: Soit (un) la suite définie par un= n²/2ⁿ pour tout entier naturel n.

j'essaye de prouver que cette suite et décroissante  à partir d'un certain rang. Pour cela je dois le déduire en faisant un+1 - un

Je pense donc qu'il faut faire un+1 - un < 0 mais je bloque sur le calcul de un+1 - un
je vous précise mon calcul

(n+1)²/2⁽ⁿ⁺¹⁾ - n²/2ⁿ

n²+2n+1/2⁽ⁿ⁺¹⁾ - n²/2ⁿ

n²+2n/2ⁿ - n²/2ⁿ

= 2n/2ⁿ

je pense pas que ce calcul soit juste, je crois enfaite que j'ai un problème avec les fraction

ok mais ne pars pas avec un à priori (même tu sais ce qui se passe par exemple avec ta calculatrice)

tu calcules proprement u_{n + 1} - u_n et tu veux déterminer son signe ...

pour cela il faut donc factoriser (1) ce qui passe ici par une réduction au même dénominateur ... mais tu as faux !!

et encore une fois il n'est pas nécessaire de développer (n + 1)^2 !!

mais il est nécessaire de réduire au même dénominateur et ce que tu as fait est faux ...

(1)  : pourquoi ? qu'as-tu appris en seconde ? ou/et peut-être en première ?

je sais bien sur factoriser, j'ai du voir cela en seconde voir même avant mais sur cette expression  je n'y arrive pas, je dois avoir un problème quelque part.

Pouvez vous m'expliquez les premières étapes du calcul ?

Bonsoir en attendant carpe diem,
Quel lien fais tu entre les deux denominateurs?

pour les dénominateurs on peut faire le lien 2ⁿ

car on peut transformer 2⁽ⁿ⁺¹⁾ en 2ⁿ x 2¹

ce qui donnerai comme dénominateur 2ⁿ x 2¹ et 2ⁿ

Donc quel est le denominateur commun?

le dénominateur commun est donc 2ⁿ ?

mais non reflechis : entre 2³et 2⁴,que ferais tu?

Ah le dénominateur est 2 ?

Respire un bon coup :
1/2⁴+1/2³=...

ok, on factorise avec les puissances je suppose ? je ne vois pas du tout

Si tu calcules tes puissances, ça donne quoi?

si je calcul mes puissances ca donnerait 2n +1 ?

Non avec mon exemple :je te demande de calculer la somme des deux fractions.

D'autre part es tu vraiment sûr que le professeur demande de passer par u_n+1-u_n?

Je ne sais pas quoi répondre
J'ai la piste que c'est une suite de terme géométrique mais je ne vois pas vraiment

Je parle de ce que j'ai ecrit à 19h50 :je te demande juste de calculer les puissances et de calculer la somme de tes deux fractions;

Oui il demande de passer par cela alors que d'habitude on fait un+1/un c'est étrange

Je dois partir là : a plus tard si personne n'a pris le relai.
Si tu penses que c'est une suite géometrique ,calcule les premiers temes.

bonjour,

en attendant le retour de philgr22 :

(n+1)²/2⁽ⁿ⁺¹⁾ - n²/2ⁿ

=  

mets la seconde fraction sur même dénominateur ..

Bonjour,

(n+1)^2/4^n - 2n^2/4^n
Comme ceci ?

au dénominateur à droite   tu as    2 * 2^n
à gauche   tu as   2^n    : il faut donc multiplier 2^n  par 2  pour arriver à  2*2^n   (je suppose que c'est ce que tu as fait)

tu dis que 2*2^n  =  4^n   ça, c'est faux.
exemple   2* 2^4 =  2* 32  = 64    alors que    4^4 = 256

2* 2^n   =   2^(n+1)   (revois les manipulations des puissances)

ainsi :
=  

=  

=  

la suite est décroissante  quand ce quotient est négatif.
comment fais tu pour étudier le signe de ce quotient ?

bonsoir Leile :je voulais deja regler avec lui son probleme de reduction au meme denominateur....avant d'aborder la suite

bonsoir philgr22,

c'est vrai que fofoz  a une vraie difficulté là dessus .
Comme tu avais obliqué vers la suite géométrique, j'ai cru que tu abandonnais le calcul tel que demandé par son prof..
désolée si je t'ai coupé l'herbe sous le pied.

Je te laisse continuer si tu es disponible, OK ?

pas de soucis

Je passais juste : tu peux rester.

Il faut que je determine en quel rang 'a suite est décroissante d'après mes connaissances il faut faire

Un+1- un <= 0

fofoz,
Il faut que je determine en quel rang 'a suite est décroissante d'après mes connaissances il faut faire

Un+1- un <= 0
euh ...    oui  ! mais là, tu n'avances pas beaucoup..
est ce que tu lis bien les messages d'aide ?

relis mon post de 21:15,
il se termine par :   la suite est décroissante  quand ce quotient est négatif.
comment fais tu pour étudier le signe de ce quotient ?

Je pense qu'il faut d'abord simplifier le -n^2
On obtient donc :

-n^2+2n+1 / 2n+1

on regarde le signe de a = -1
donc le quotient est négatif
comme cela ?

je n'ai pas l'habitude de procéder avec un+1 - un

d'habitude on cherche la raison q et la suite est
croissante si q>1
décroissante si 0<q<1
constante si q=1

mais pourquoi t'obstines-tu à parler de raison d'une suite qui n'est ni géométrique ni arithmétique ?

et si tu déterminais tout simplement le signe de cette différence (ou quotient après réduction) donné par Leile ?

fofoz

d'abord, il faut que tu mettes des parenthèses, sinon, ce que tu écris est faux. Les parenthèses sont indispensables sur l'écriture en ligne.

pour étudier le signe d'un quotient, on étudie le signe du numérateur ET du dénominateur.
le dénominateur =    2 ⁿ⁺¹  
quel est son signe ?

le numérateur =  -n² + 2n +1
c'est un polynôme du second degré.   Reprends ton cours sur le second degré.
toi tu dis que   -n² + 2n +1   est toujours négatif ? pourtant si n=0, on obtient 1  (positif !!).
regarde cette fiche , § signe d'un trinome   3-Fonctions du second degré : équations, signe et inéquations

après lecture, reviens rectifier ta réponse.

Merci de m'aider malgré le fait que j'ai assez de mal à comprendre

pour le signe du quotient
Le signe du dénominateur semble positif

quant au numérateur c'est un polynôme du second degré, il faut donc calculer delta pour établir son signe

Je trouve pour le delta de -n^2 + 2n +1
delta = 8

sur la fiche que vous m'avez donné

"Si Delta > 0, P(x) a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de (- a) entre les racines."

j'ai trouvé comme racine à ce polynôme 1-√ 2 et 1+√ 2
que j'avais déjà calculer dans un autre exercice

à partir de la comment faire pour déterminer un rang ou cette suite est décroissante ?

le dénominateur est toujours positif, c'est juste.
en effet, le numerateur est positif quand n est compris entre les racines et négatif quand n <  1-√ 2    ou   n > 1+√ 2

tu cherches n tel que le quotient est négatif.

à ton avis, est ce que n peut etre  < à 1-√ 2   ??

que peux tu conclure alors ?

NB : tu dis " j'ai assez de mal à comprendre"  ;   crois moi, ce serait plus simple pour toi si tu connaissais ton cours sur le bout des doigts (manipulation de fractions, des puissances, second degré, etc..). C'est incontournable si tu veux etre plus à l'aise.

Je comprends pas la question

"à ton avis, est ce que n peut etre  < à 1-√ 2   ??"

A mon avis il peut oui et n serait donc négatif
]-infini : 1-√2[

hé bien non,
si tu regardes bien ton énoncé, n est positif ou nul.

je quitte. Bonne  nuit, à demain.