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Etude de suite
Bonsoir à toutes et tous,
J'ai besoin de votre aide pour quelques questions sur un exercice de mathématique
Dans mon exercice, j'ai la fonction g(x)= ,
définie sur ]1; +[ .
J'ai calculé ses limites aux bornes de son ensemble de définition et je trouve comme limite en + , +
et en 1, +
.
J'ai fait son tableau de variations, après avoir calculé sa dérivée, et on constate que la fonction g(x) est décroissante sur ]1;e1[, allant de + à g(e1) , et qu'elle est croissante sur ]e1; +
[ ,allant de g(e1) à +
.
Par la suite, on avons une suite U0=10 et Un+1= g(Un) pour tout entier naturel n. En annexe, on a tracé la courbe représentative C de la fonction g et la droite d'équation y=x
-Dans un premier temps, nous devons placer les termes U0, U1; U2 et U3 sur l'axe des abscisses et nous devons conjecturer le sens de variation et le comportement de la suite (Un).
Je voudrais savoir si vous auriez une méthode pour calculer ces diffèrents termes et les placer par la suite sur un graphique.
-Nous devons par la suite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a Une
Pour cette question, je sais qu'il faut utiliser la méthode de la récurrence mais je ne vois pas du tout de quel point il faut commencer, j'aimerai seulement savoir par où commencer.
- Nous devons ensuite démontrer que la suite (Un) est décroissante, pour cette question également, je ne vois pas du tout comment la traiter.
- On admet par la suite que, la suite (Un) converge vers une limite réelle , et que
vérifie
. Il faut déterminer la limite de
.
Puis en dernier, nous devons écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit n tel que Un - <10-12
Je voudrais tout d'abord remercier tout aide qui sera apporter pour la résolution de ce problème, mais j'aimerai avant tout avoir quelques pistes pour chacune des questions pour essayer de comprendre les questions qui me sont difficiles à résoudre. Je vous remercie vraiment et j'espère ne pas avoir fait de fautes dans l'énoncé.
Bonsoir ,
D'abord ,on ne te demande pas de calculer les termes mais de les construire : tu te sers de la courbe et de la droite d'equation y=x qui te permet de transformer chaque image en antecedent .
Pour la question suivante , il faut te servir du tableau de variation de g
oui, geogebra un peu bricolé dessine ça aussi :
tu as la méthode expliquée là si tu veux 
tu dessines la courbe (ici y=x/ln(x)) et la droite y=x qui sert à rabattre les points de l'axe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer la récurrence. Les segments semblent rebondir un coup sur la courbe et un coup sur la droite; A chaque verticale bleue, il y a un terme de la suite.
non, dans le premier temps, c'est la construction sur le dessin qu'on te demande
avec ça, tu peux conjecturer que la suite semble décroissante, et même convergente
pour la conjecture n ne te demande rien de plus
Pouvons nous dire aussi que d'après le graphique, la suite Un semble décroissante ? Car la question demande de conjecturer le sens de variation et le comportement de la suite Un.
Pourriez vous m'expliquer comment calculer Un+1 - Un ? Car je sais que Lorsque ( Un) est définie explicitement c'est à dire lorsque un=g(n), on montre que g est décroissante or g(x) est croissante sur ]1;+ donc je ne comprend pas très bien
bonjour malou
ne serait-ce pas plus judicieux ici de faire la différence et d'en étudier le signe (en mettant sous le même dénominateur) en s'aidant de la question précédente?
comme tu veux, en réalité ça revient au même (dès qu'on se sert du tableau de variations établi précédemment), mais les rédactions sont différentes
pas de souci
edit > au fait bonjour bbjhakan ! et tu peux prendre la main si tu veux, pas de souci
J'ai en effet fait la différence Un+1 - Un mais je trouve à la fin, , je ne vois pas en quoi cela montre que la suite Un est décroissante
toujours pas...
tu sais que
puisque si l'on prend des valeurs pour Un qui sont plus grandes que e, par définition de la croissance, ln Un 
ln e 
ln Un 1
j'ai trouvé
or Un 0 et ln
0 car Un
e
donc c'est du signe de 1-ln(Un)
1-ln(Un) 0
ln(Un) 1
eln(Un)e1
Un e
j'ai trouvé
or Un
donc c'est du signe de 1-ln(Un)
à partir de là, reprendre le fait que
toujours pas...
tu sais que
puisque si l'on prend des valeurs pour Un qui sont plus grandes que e, par définition de la croissance, ln Un
ln e ln Un 1Je vous remercie beaucoup de m'avoir aider pour cet exercice.
J'aurai seulement une dernière question, on admet que la suite Un est convergente vers une limite réelle l et que l vérifie g(l) = l
comment pouvons nous déterminer la limite l
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