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Etude de suite avec fonction

Posté par
Duplombenor
03-02-23 à 16:26

Bonjour,

Soit (Un) la suite définie par U0=0,7 et, pour tout enter naturel n appartenant à N on a Un+1=(3Un/(1+2Un))

1. On considère la fonction ƒ définie sur [0;+infinie[ par f(x)=(3x/(1+2x))
a. Étudier les variations de f sur [0;+infinie[.
j'ai dérivée la fonction et j'ai trouvé 3/(1+2x)2. On sait que 3 est strictement positif comme (1+2x)2 donc f est strictement croissante sur R


b. En déduire que si x appartient[0;1], alors f(x) appartient [0; 1]
je n'y arrive pas, pouvez m'indiquer la manière de faire svp

Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Etude de suite avec fonction 03-02-23 à 16:34

Rebonjour

Sur [0,1], f croit de f(0) à f(1).

Posté par
Duplombenor
re : Etude de suite avec fonction 03-02-23 à 17:02

Merci de votre reponse, mais Il faut juste dire ca?

Posté par
malou Webmaster
re : Etude de suite avec fonction 03-02-23 à 17:21

Bonjour

si tu n'es pas convaincue, fais un tableau de variations de ta fonction sur l'intervalle [0 ; 1]

Posté par
mathafou Moderateur
re : Etude de suite avec fonction 03-02-23 à 18:45

Bonjour,
"mais Il faut juste dire ca?"
non, il faut écrire explicitement les valeurs de f(0) et de f(1) bien entendu !
(ou faire un tableau de variations avec ces valeurs explicitement écrites)

Posté par
Duplombenor
re : Etude de suite avec fonction 03-02-23 à 20:46

Bonjour merci a tous pour vos reponses j'ai fais un tableau de variation : (c'est l'image)

Jai aussi traité les autres q°
(Il fallait montrer par recurrence que 0<=Un<=Un+1<=1 je lai montrer grace au fait que f est croissante et donc qu'elle conserve l'ordre) ensuite il faut calculer la limite de Un et j'ai calculer la limite de f(x) lorsque x tend vers l'infinie et j'ai trouvé 3/2. C'est correcte ?
(Je ne sais pas vrm comment calculer la limite de Un)

Merci de votre aide

Etude de suite avec fonction

Posté par
mathafou Moderateur
re : Etude de suite avec fonction 03-02-23 à 20:51

avec l'énoncé exact des questions suivantes on pourrait te répondre (à quoi diable peut bien servir la limite de f(x) quand x tend vers l'infini ?? sachant que tous les Un sont < 1 !)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Etude de suite avec fonction 03-02-23 à 21:16

et puis invoquer sans détails la croissance de la fonction pour "justifier" (sic) que la suite est croissante c'est "léger" (donc faux)

on n'a pas Un+1 = f(n) mais Un+1 = f(Un)
et donc la croissance de la suite est l'étude de Un+1 - Un = f(Un) - Un = ...

un contre exemple de fonction croissante sur [0; 1] donnant une suite décroissante par Un+1 =f(Un)

Etude de suite avec fonction
(illustration de Un+1 =f(Un ) par renvoi de l'ordonnée f(Un ) en abscisses via la droite y = x)

Posté par
mmmm1234
re : Etude de suite avec fonction 06-04-23 à 15:48

Bonjour  Duplombenor

Je pense qu'il y'a une manière plus facile d en déduire que si x appartient à [0 ;1] alors f(x) appartient à [0;1]

     Il faut juste calculer f(0) et f(1) et voir si les résultats appartiennent à l'intervalle  [0;1]

Posté par
mathafou Moderateur
re : Etude de suite avec fonction 06-04-23 à 17:12

Non,

il est ici nécessaire de prouver aussi que la fonction est monotone (ici croissante) dans [0; 1]

contre exemple :
Etude de suite avec fonction
f(0) = 0, f(1) = 1 mais pour x dans ]0.5; 1[ f(x) > 1

Posté par
carpediem
re : Etude de suite avec fonction 06-04-23 à 18:31

salut

j'y vais aussi de mes remarques :

Duplombenor @ 03-02-2023 à 16:26

1. On considère la fonction ƒ définie sur [0;+infinie[ par f(x)=(3x/(1+2x))
a. Étudier les variations de f sur [0;+infinie[.
j'ai dérivée la fonction et j'ai trouvé 3/(1+2x)2. On sait que 3 est strictement positif comme (1+2x)2 donc f est strictement croissante sur R
f n'est certainement pas croissante sur R vu qu'elle n'existe pas en -1/2

infini ne prend pas de e ...

remarquer que f(x) = \dfrac {3x} {1 + 2x} = \dfrac 3 2 \left( 1 - \dfrac 1 {2x + 1} \right) permet de justifier que f([0, 1)] [0, 1] par simple encadrement de "niveau" collège ...



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