Le but du pb est de faire l'étude suivant les valeurs de Uo E R de la suite (Un) définie par la relation de récurrence: U(n+1) = racine de{Un+2}

J'ai tt d'abord posé:
f(x)=racine de {x+2} ac x-2

J ai calculé la dérivée:
f'(x)= 1/2 * 1/(racine de (x+2})
d'ou f(x) positive entre -2 et + l infini

d ou f(x) croissante entre 0 et + l infini

Cherchons le point fixe:
f(l)= l
l=racine de {l+2}
l au carré = l+2
l au carré -l-2=0
dou l= -1 impossible
ou l= 2
le point fixe est dc 2

on en deduit dc qu entre O et 2 la suite Un est croissante : U1 sup à Uo
entre 2 et plus l infini, la suite Un est décroissante.

Est ce que c'est bien ca?

Ce que je ne comprends pas c'est que qd on a etudié la fonction f(x) était croissante entre 0 et plus l infini!
pourquoi la suite n est dc pas elle aussi tjs croissante sur O plus l infini?

Merci

Une autre approche:
Tires-en ce qui peut t'aider.


g(x) = V(x+2) - x   (avec V pour racine carrée).
Dg: x >= -2
g(x) est continue pour x dans [-2 ; oo[

g '(x) = 1/(2V(x+2)) - 1

g '(x) > 0 pour x dans ]-2 ; -7/4[ -> g(x) est croissante.
g'(x) = 0 pour x = -7/4
g '(x) < 0 pour x dans [-7/4 ; oo[ -> g(x) est décroissante.

g(-2) = 2 > 0
lim(x-> oo) g(x) = lim(x-> oo) [(V(x+2) - x)(V(x+2) + x)]/(V(x+2) + x)
lim(x-> oo) g(x) = lim(x-> oo) (x+2-x²)/(V(x+2) + x) = -oo < 0

De tout de qui précède, on conclut qu'il y a une et une seule valeur de x pour laquelle g(x) = 0 dans R+

g(x) = 0 pour V(x+2) - x = 0
V(x+2) = x
x + 2 = x²
x² - x - 2 = 0
dont la racine positive est x = 2.

On a donc g(x) > 0 pour x dans [-2 ; 2[
et g(x) = 0 pour x = 2.
et g(x) < 0 pour x dans ]2 ; oo[
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Si x = U(n) ->
g(U(n)) = V(U(n) +2) - U(n)

g(U(n)) > 0 pour U(n) dans [-2 ; 2[ ->  V(U(n) +2) > U(n) et donc U(n+1) > U(n) et Un est croissante.
g(U(n)) = 0 pour U(n) = 2 -> V(U(n) +2) = U(n) et donc U(n+1) = U(n) et Un est stationnaire.
g(U(n)) < 0 pour U(n) dans ]2 ; oo[ ->  V(U(n) +2) < U(n) et donc U(n+1) < U(n) et Un est décroissante.

Donc:
Si U(0) est dans [-2 ; 2[, la suite Un est croissante.
Si U(0) =2, la suite Un est stationnaire.
Si U(0) est dans ]2 ; oo[, la suite Un est décroissante.
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A)
Supposons:  U(0) est dans [-2 ; 2[, la suite Un est croissante.

Si -2 <= U(n) < 2, on a:
-2 + 2 <= U(n) + 2 < 2 + 2
0 <= U(n) + 2 < 4
V(0) <= V(U(n) + 2) < V(4)
0 <= V(U(n) + 2) < 2
0 <= U(n+1) < 2
et a fortiori:
-2 <= U(n+1) < 2

Donc comme -2 <= U(0) < 2, tous les termes de la suite sont dans [-2 ; 2[, la suite est majorée par 2.

Comme la suite est croissante et majorée, elle converge.

Comme la suite converge, on a lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) U(n), appelons cette limite L.
->
lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) U(n)
lim(n->oo) V(U(n)+2) = lim(n->oo) U(n)
V(L+2) = L
L + 2 = L²
L² - L - 2 = 0
(On a montré que 0 <= U(n+1) < 2, et donc on sait que 0 <= L < 2)
-> c'est la racine positive de L² - L - 2 = 0 qui convient soit L = 2)

-> Si U(0) est dans [-2 ; 2[, la suite Un est croissante et converge vers 2.
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B)
Supposons:  U(0) est dans ]2 ; oo[, la suite Un est décroissante.

Si  U(n) > 2, on a:
U(n) + 2 > 2 + 2
U(n) + 2 > 4
V(U(n) + 2) > V(4)
U(n+1) > 2

Et donc tous les termes de Un sont > 2, Un est minorée par 2.

Un est décroissante et minorée, elle est donc convergente.

Comme la suite converge, on a lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) U(n), appelons cette limite L.
...
Même raisonnement que dans A ->

Si U(0) est dans ]2 ; oo[, la suite Un est décroissante et converge vers 2.
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C)
On a montré que si U(0) = 2, alors la suite Un est stationnaire (tous ses termes = 2)
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Sauf distraction.  

merci pour ton aide,

le probleme c'est que g(x)=V(x+2) et non g(x)=V(x+2) +1 !
ds le cas ou g(x)=V(x+2), g'(x) est tjs positive sur )-2;+oo(
d ou g(x) tjs croissante sur )-2;+oo( !

je ne compremds dc pas pourquoi (Un) ne croit pas de la meme facon que g(x) sur )-2;+oo(

j ai bien compris pourquoi il existe un point fixe = 2 qd g(x)=V(x+2) +1
mais je ne comprends pas pourquoi ce serait le cas qd g(x)=V(x+2) puisque g est tjs croissante!
Merci pour ta patience!

Je n'ai pas abordé le problème comme ton prof te l'a appris, c'est pourquoi il semble qu'il y a confusion sur ce que vaut g(x).

Je ne me suis pas aventuré dans la méthode de ton prof que je n'utilise d'habitude jamais (ce qui ne signifie pas qu'elle est mauvaise) . Et donc le g(x) de ta solution n'a rien à voir avec celui de ma solution.

Dans ma solution:
J'étudie la fonction:
g(x) = V(x+2) - x

Toutes les conclusions que j'en tire, je les tranpose à g(U(n)) qui vaut alors:  V((U(n)+2) - U(n)
et donc = U(x+1) - U(x)

Comme j'ai étudié le signe de g(x), j'en déduis le signe de: U(x+1) - U(x)
et donc je détermine si la suite Un est croissante ou décroissante ...
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Cette méthode n'est pas la même que celle préconisée par ton prof et donc les "g(x)" des 2 solutions n'ont pas le même signification.
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Désolé si cela t'a perturbé mais j'avais bien commencé ma réponse initiale par:

Une autre approche:
Tires-en ce qui peut t'aider.
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