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Etude de suites imbriquées
Bonjour,
J'ai un devoir maison a faire pendant les vacances mais je suis bloquée, pourriez vous m'aider?
Le sujet est le suivant:
On note u et v les suites definies par u0=1, v0=2 et pour tout entier naturel n,
Un+1=(Un^2)/(Un+Vn)
et
Vn+1=(Vn^2)/(Un+Vn)
On admet que pour tout entier naturel n, Un>0 et Vn>0.
1. Donner les 10 premieres valeurs des suites u et v. Quelles conjectures peut-on faire concernant la monotonie et la convergence des suites u et v?
2.a) Etudier la monotonie de u et v
b) Montrer que les suites u et v sont convergentes.
On note L et L' les limites respectives des suites u et v.
c) Montrer que L *L'=0.
3.a) Justifier que la suite
u-v est constante.
b) En deduire L et L' .
Voilà pour l'énoncé.
J'ai reussi à obtenir les 10 premieres valeurs de la question 1. et à conjecturer que les suites sont croissantes et divergent vers + l'infini.
Pour la 2.a) j'ai fait Un+1-Un et Vn+1-Vn mais je suis pas sure de ce que j'ai fait parce que ca me donne des resultats negatifs et pour le reste je vois pas comment faire 😕
Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance
Pourtant en calculant les 10 premiers termes de la suite u et les 10 premiers termes de la suite v, les valeurs grandissaient donc je doit conjecturer quelles sont croissantes non? Je comprend pas ou est mon erreur
Oui je viens de me rendre compte de mon erreur, merci
Du coup pour u et v on a :
U1=1/3 V1=4/3
U2=1/15 V2=16/15
U3=1/255 V3=256/255
U4=1,52*10^-5 V4=1
etc... c'est ca?
Alors du coup je peux conjecturer que les deux suites sont decroissantes, la suite u tendrait vers 0 et la suite v tendrait vers 1.
Ensuite je dois etudier la monotonie donc pour ca je fait Un+1-Un et Vn+1-Vn c'est bien ça?
Le calcul de Un+1-Un m'a donné
-(Un*Vn) / (Un+Vn) et le calcul de Vn+1-Vn m'a donné aussi
-(Un*Vn)/(Un+Vn) donc on obtient des expressions negatives donc Un et Vn sont bien décroissantes. Ensuite pour la b), d'apres le theoreme de convergence des suites monotones, toute suite decroissante minorée est convergente. Mais est ce que a ce stade de l'exercice on a deja le droit d'affirmer que la limite de Un est 0 et que celle de Vn est 1?
Merci d'avance
Je ne comprends pas... pour la limite de Un+1, on utilise son expressions c'est a dire Un^2/(Un+Vn) ?
Donc on a Un^2 qui tend vers + l'infini divisé par Un + Vn qui tend vers + l'infini aussi donc on obtient une forme indeterminé ce qui ne nous aide pas... j'ai essayer de changer la forme de l'expression mais j'obtient toujours une forme indeterminée
J'ai L*L'=0 donc on peut dire que limUn+1*limVn+1=0 d'où limUn+1=0 ou limVn+1=0 mais que faire a partir de ca?
non : ça , c'et ce que tu dois demontere : sers toi de ma remarque
Pense que limUn=limUn+1et meme chose pour la suite (Vn)
D'accord mais le probleme qui se pose est que la limUn^2/(Un+Vn) est une forme indeterminee puisque on a +l'infini divisé par + l'infini 😕
Je ne comprends pas, désolée... 😞
Nous voulons montrer que L*L'=0 avec L limite de Un et L' limite de Vn. Nous avons etabli que:
LimUn=LimUn^2/(Un+Vn) et
LimVn=LimVn^2/(Un+Vn).
Donc cela reviens a ecrire que:
L=LimUn^2/(Un+Vn) et
L'=LimVn^2/(Un+Vn) c'est bien ca?
D'accord mais c'est ce que j'ai fais dans mon message precedent non? On obtiendrai donc LL'=L^2/(L+L')*L'^2/(L+L') mais comment faire en sorte que cela soit egal a 0?
J'obtiens :
LL'=(L^2*L'^2)/((L+L')*(L+L')
<=>LL'((L+L')(L+L'))=L^2*L'^2
<=>(LL'((L+L')(L+L'))/L'^2 )-L^2=0
😕
Ah d'accord je viens de comprend mon erreur mais est ce quil n'y aurai pas un ^2 pour la partie entre parenthese? Car on a (L+L')*(L+L') sous la barre de fraction a droite avant de le passer a gauche
Ok parfait donc ca j´ai compris merci beaucoup mais on a toujours pas fini du coup parce que ce calcul n'a rien donné 😕
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