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Étude des fonctions

Posté par
bouchaib 11-10-23 à 10:00

Bonjour,
    Exercice :
     Soit la fonction, f(x)=\frac{x}{\sqrt {1-x^{2}}}.
1. Déterminer le domaine de définition  .
Réponse :
      D_f =\left(\left\{ x\in R, 1-x^{2}>0\right\} \right) \Leftrightarrow D_f=]-1 ; 1[,
2. Calculer lim f(x) 1 à gauche et en -1 à droite.

Réponse :  lim(f(x))= - en -1 à droite et lim(f(x))=+ en 1 à gauche.

   3. Montrer que f est continue sur Df,

    Réponse :  f est le rapport de  x, monôme donc continue sur R, et en particulier sur ]-1; 1[  et  une fonction  continue  \sqrt {1-x^{2}} sur ]-1; 1[.
Donc f est continue sur son domaine de définition.
4. Déterminer la dérivée de f sur son domaine de définition,

   f'(x)=\frac{1}{(\sqrt {1-x^{2}})^{3}}  >0. donc f est strictement croissante sur  son domaine de définition.
5. Montrer que f admet une fonction réciproque f-1 définie sur un intervalle J  à déterminer.

Réponse : f est continue sur son domaine de définition  et strictement croissante donc bijection, d'où admet une fonction réciproque de J =]-; +[ vers ]-1; 1[.
6. Déterminer f-1(x) pour tout x appartenant à J.
Ma réponse : f^{-1}(x)=y. \Leftrightarrow f(y)= x \Leftrightarrow \frac{y}{\sqrt {1-y^{2}}}=x
y^{2}= x^{2}(1-y^{2})  donc y=-\sqrt {\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}    si,  y \in ]-\infty ; 0],

y=\sqrt \frac{x^{2}}{1+x^{2}}      si, x\in [0; +\infty[
  Merci par avance de me corriger .

Posté par
carpediemre : Étude des fonctions 11-10-23 à 10:15

salut

3/ le dénominateur de f est la composée de deux fonctions continues sur ]-1, 1[ donc est continue et ne s'y annule pas

f est alors le quotient de deux fonctions continues donc est continue

pour le reste ça me semble bon ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Étude des fonctions 11-10-23 à 12:18

Bonjour,
Il me semble que la question 6. peut être améliorée.
x2 se simplifie.

Posté par
carpediemre : Étude des fonctions 11-10-23 à 12:53

ha oui ... pas fait attention

ensuite j'en profite pour faire une remarque que j'ai oubliée :

f(x) = y = \dfrac x {\sqrt{1 - x^2}}

la fonction f exprime y en fonction de x
sa fonction réciproque exprime x en fonction de y

nul besoin de tous ces changements de lettres qui n'apporte que confusion (à mon avis)

donc on exprime x en fonction de y avec l'égalité y = \dfrac x {\sqrt {1 - x^2}}  (en français : on cherche l'antécédent de y)

et c'est seulement lors de la conclusion : donc f^{-1} (x) = ... qu'on repasse à la variable "conventionnelle" x


et pour la remarque de Sylvieg on peut remarquer que x et y ont même signe

Posté par
bouchaibre : Étude des fonctions 11-10-23 à 12:56

Merci beaucoup et très belle journée  à vous  !

Posté par
carpediemre : Étude des fonctions 11-10-23 à 13:14

de rien mais peux-tu nous donner ton résultat de la question 6/ ?

Posté par
bouchaibre : Étude des fonctions 11-10-23 à 20:22

Bonsoir et merci, j'y suis !
Voilà  après simplification du numérateur de ce quotient :
    y= +|x|. \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \Leftrightarrow y=x. \frac{1}{\sqrt1+x^{2}}     si.   x \in [0; +\infty[

Posté par
bouchaibre : Étude des fonctions 11-10-23 à 20:34

Pardon :

   Et.      y=-|x|.\frac{1}{\sqrt{ 1+x^{2}}} \Leftrightarrow y=-(-x).\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} y= x.\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}      si.     x \in ]-\infty ; 0]. \\ \\ Donc  \forall x\in R,     f^{-1}(x) =x.\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
    
   Merci encore .

Posté par
carpediemre : Étude des fonctions 11-10-23 à 20:45

pas très clair ..

(1 + x^2)y^2 - x^2 = 0 \iff [y \sqrt {1 + x^2} - x][y \qrt {1 + x^2} + x] = 0 \iff y = - \dfrac x {\sqrt {1 + x^2}} $ ou $ y = \dfrac x {\sqrt {1 + x^2}}

ou de ton résultat on déduit aussi |y| = \dfrac {|x|} {\sqrt {1 + x^2}}

et dans les deux cas il faut choisir le bon signe

or (à justifier plus mieux bien qu'une simple remarque)

carpediem @ 11-10-2023 à 12:53

et pour la remarque de Sylvieg on peut remarquer que x et y ont même signe
car f est strictement croissante

donc y = ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Étude des fonctions 11-10-23 à 20:56

Juste en passant :
Pour justifier que x et y ont le même signe, il suffit d'utiliser \dfrac{y}{\sqrt {1-y^{2}}}=x.

Ou \dfrac{x}{\sqrt {1-x^{2}}}=y si l'on préfère

Posté par
bouchaibre : Étude des fonctions 11-10-23 à 21:06

Merci donc   :    y= x/(r.carrée (1+x^2) pour tout x appartenant  à R.

Posté par
bouchaibre : Étude des fonctions 11-10-23 à 22:50

Merci.
Oui tout au début et le problème de signe est résolu !


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