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Niveau seconde
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étude des variations de ax²

Posté par
mathchim
03-05-18 à 16:56

Bonjour,


Ex 4 : Restitution organisée des connaissances
Dans cette exercice, on se propose d'étudier les variations de f(x) =ax² pour a ≠ 0

1 ) Dans cette question, on suppose que a > 0

a. étude des variations de f sur ]-\propto;0]
Soient   x,y \in ]-\propto;0] tel que   x \leqslant y

a.1) Montrer que f(y) - f(x) = a(y -x) (y+x)
a.2) Quel est le signe de y + x pour x,y \in ]-\propto;0]  et celui de y - x pour x \leqslant y \leqslant 0
a.3) En déduire le signe de f(y) - f(x) et le sens de variation de f(x) sur ]-\propto;0]

b. étude des variations de f sur [0; +\propto[
Soient  x,y \in   [0; +\propto[ tel que x \leqslant y
b.1) De la même façon que  la question a. 1)  étudier le signe de f(y) - f(x)
b.2) En déduire le sens de variation de f(x) sur [0; +\propto[
c. Des questions a) et b) , établir le tableau de variation de la fonction f sur R




pour le signe de y + x

on prend deux réels x et y qui sont dans R-
ce qui signifie que l'on additionne deux nombres négatifs

x < 0 et y < 0
alors y + x donne x + y < 0

pour le signe de y - x

cette fois, on soustrait deux nombres négatifs
1 er cas : si y est supérieur à x
par exemple y  = -1 et x = -2
-1 - (-2) = -1 + 2 = 1

2eme cas : si y est inférieur à x
par ex : y = -5 et x = -4
-5 - (-4) = -5 + 4 = -1
sauf que là, il est précisé que x \leqslant y

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 17:08

   Bonsoir,
  il ne faut pas prendre  2 valeurs connues ,  mais x et y  , comme indiqué dans l'énoncé:

Soient   x,y \in ]-\propto;0] tel que   x \leqslant y

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 17:12

Bonsoir PLSVU

c'est le défaut que j'ai pour ce type d'exercices : à chaque fois je prends un crayon et une feuille pour faire plusieurs essais

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 17:15

en prenant x et y tel que x < y
et en plaçant  le premier terme qui est y de sorte que y - x

comme  -5 < -4 < -3 < -2 < -1
ce qu'il fait que j'obtiens un signe positif pour y - x

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 17:21

il faut faire les calculs avec x et y  sachant que
x≤y≤0
f(y)-f((x)=ay^2-ay^2  tu factorises

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 17:27

je comprends pas f(y) - f(x) = a y^{2} - a y^{2}

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 17:30

excuse erreur de frappe

f(y) - f(x) = a y^{2} - a x^{2}

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 17:37

oK
je factorise a y² - a x²

c'est comme A² - B²

donc (ay - ax) (ay + ax)

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 17:48

(ay - ax) (ay + ax)
= a (y - x ) (ay + ax)

si je mets (ay + ax ) en facteur avec a

je vais avoir 2 a (y - x) (y + x)

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 18:23

erreur  
il faut commencer par mettre le  a en facteur , puis   utiliser A2-B2=(A+B)(A-B)

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 18:30

je reprends
f(y) - f(x) = a y² - a x²

= a (y² - x²)

= a (y + x) (y - x)

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 18:41

pour le signe de y-x

y >0 et x>0

y>x>0 si y > x

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 18:43

OK
a.2) Quel est le signe de y + x pour x,y \in  ]-\propto;0]  et celui de y - x pour x \leqslant y \leqslant 0

il fait déterminer le signe de ce produit sachant que a>0
tu cherches le signe de chaque  facteur

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 18:48

pour le signe de y - x

y et x sont négatifs
donc j'écris que y < 0 et x < 0

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 18:52

x < y

alors y - x > 0

j'ai fait plusieurs essais
le y  est placé en premier  dans y - x
alors le x devient positif , ce qui donne un signe positif

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 18:57

x≤y≤0
d'où   x-y   ........
rappel  si  X<0 alors -X>0    

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 19:03

la première ligne je comprends

y \leqslant 0

x \leqslant y

donc x est forcément inférieur à 0

on peut écrire : x \leqslant y \leqslant 0

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 19:04

ça, je comprends mais pour la deuxième ligne : ça rame .....

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 19:04

surtout ne pas me donner la réponse toute faite ...
je veux trouver

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 19:18

une remarque
on peut écrire : x \leqslant y \leqslant 0
c'est l'énoncé cette  inégalité est donnée dans l'énoncé

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 19:19

oK

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 19:22

à partir de x \leqslant y \leqslant 0

il faut que je trouve y - x > 0

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 03-05-18 à 20:21

OUI

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 11:13

Bonjour,

pour signe de y + x

x et y sont dans l'intervalle ]-\propto;0] donc x \leqslant 0 et y \leqslant 0

je peux dire  : x + y\leqslant 0 + 0





pour le signe de y - x

je vois pas .....

Pouvez vous m'aidez? s'il vous plait

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 14:35

pour signe de y + x

x et y sont dans l'intervalle ]-\propto;0] donc x \leqslant 0 et y \leqslant 0
x≤0
y≤0
x+y≤0    un seul zéro suffit

pour le signe de y - x
x≤y≤0
x≤y
x-y≤0  on multiplie pas  -1 nombre négatif ...... tu continues

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 15:34

je ne comprends pas comment vous passez de la deuxième ligne :


x≤y

à la 3e ligne :
x-y≤0

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 15:41

pour le signe de : y + x
j'ai remplacé y par y≤0 et aussi x par x≤0
j'ai obtenu y + x ≤0 ( avec les deux fois zéros !!! )

là, pour le signe de : y - x
je fais pareil ???

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 16:20

pourquoi as -tu recommencé?
x+y
si  y≤0
et x ≤0  
alors
y+x≤0  c'est fini


signe de y-x

si x≤y≤0

alors
x-y<0
or on cherche le signe de y-x  
par quel entier faut-il multipier (x-y ) pour obtenir y-x

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:04

non, je n'ai pas voulu recommencer pour  y + x
je veux simplement savoir si on exécute de la même manière pour y - x

ce que je ne comprends pas : c'est comment arrive t-on à x - y < 0
c'est ça la grande question..........

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:09

as-tu compris les premières lignes  pour le signe de y-x ?si x≤y≤0
si x≤y≤0
alors
x≤y
x-y<0
or on cherche le signe de y-x   
par quel entier faut-il multiplier (x-y ) pour obtenir y-x

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:13

vous partez de x≤y≤0
et vous arrivez à :
x - y < 0

Faut-il faire comme pour y + x
dire que y≤0
et x≤0
alors
y≤0
+x≤0
-------------
= y + x ≤0

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:14

message croisé

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:16

Pour votre message de 17 h 09
la réponse : non, je n'ai pas compris les premières lignes
bloquage total

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:18

si x≤0 ≤0
alors
x≤y
jusque là , ça va ....

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:28

si x≤y ≤0
alors
x -y≤ 0   OK
donc tu as le signe de la différence  entre x et y
mais on veut la différence entre y et x  =y-x
(x-y) *? =-x+y=y-x
  remplace le "? par un entier  .

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:29

pardon....
si x≤y ≤0
alors
x≤y
jusque là , ça va ....

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:32

j'avais pas vu le message
comment obtient-on x - y ≤0  à partir de x≤y≤0
ça a l'ai simple
mais je vois pas

pour la suite je comprends....

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:35

-(x - y) = -x + y = y - x
c'est l'associativité ... oK
je pars de x - y et je veux y -x donc je multiplie par (-1)
d'accord

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:37

x≤y≤0
donne
x - y ≤0
ça a l'ai évident mais je vois pas ....

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 17:52

-(x - y) = -x + y = y - x
c'est l'associativité ... oK
je pars de x - y et je veux y -x donc je multiplie par (-1)   OUI
-(x - y) = -x + y

-x + y = y - x     c'est  la commutativité


x≤y≤0
donne
x≤y   tu soustrais  " y "  aux deux membres de l'inégalités  x-y   ≤y-y≤0

x - y ≤0

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 18:17

oK


signe de f(y) - f(x)

f(y) - f(x) = a (y + x) (y - x)

y + x ≤0

et y - x ≤0

un produit de deux facteurs de même signe est positif

alors (y + x) (y -x) >0  

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 18:32

euh ... non

y + x ≤0

et on a trouvé
 y - x > 0

c'est plutôt : le produit de deux facteurs de signes différents est négatif

(y + x) (y -x) ≤0
a > 0
finallement
a (y + x) (y - x) x≤0

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 18:34

finalement ( sans la faute d'orthographe)

a (y + x) ( y - x) ≤0

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 18:47



qu'en déduis-tu pour le sens de variation e f sur ]-∞;0]?

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 19:03


l'énoncé nous donne :x ≤y
et f(y) - f(x) < 0
f(y) - f(x) + f(x) < f(x)

f(y) < f(x)

la fonction décroissante ne conserve pas l'ordre entre les antécédents et les images

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 19:05

là, en dessin ... on voit bien
sur R-
la fonction est bien décroissante
en tapant y = a x2 dans la barre de saisie, on sait d'avance que les antécédents et les images ne  sont pas rangés

étude des variations de ax²

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 19:16

pour ton message de 19:05
graphiquement    :  f est décroissante sur]-∞,0]
  

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 19:20

je dois pas dire R-
c'est ça ?

Posté par
PLSVU
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 19:25

oui

Posté par
mathchim
re : étude des variations de ax² 04-05-18 à 19:42

j'ai particulièrement apprécié ton aide
j'ai aussi posé beaucoup de questions...
pleins de merci .....

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