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Niveau terminale
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etude du produit vectoriel

Posté par
gustosas1525 19-01-23 à 16:17

bonjour est il possible d avoir de l a ide pou réaliser mon exercice :

soient (a,b,c) et (x,y,z) deux vecteurs .On definit le produit vectoriel de et de la facon suivante : (bz-cy ; cx-az ; ay -bx)
1/ prouver que et sont orthogonaux et que et sont orthogoanux

2/ soit k un nombre reel
a/ prouvez que (k) = (k)=k()

b/ en deduire que si et sont colineaires alors =vecteur0

3/ prouvez que = -

merci a vous

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 16:24

Bonjour gustosas1525

vu la définition que tu as du produit vectoriel, cela va être fort calculatoire, mais ça se fait

le vecteur \vec u tu connais ses coordonnées
le vecteur produit vectoriel \vec u \wedge \vec v tu connais aussi ses coordonnées

comment sais-tu si des vecteurs sont orthogonaux ?

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 16:39

2 vecteurs sont.orthogonaux ssi .=0

Je l ai fait mais et je trouve ax+by+cz

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 16:44

Revois ton calcul ou écris le ici si tu ne trouves pas ton erreur

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 16:51

je relis ce que tu as écrit
ce n'est pas le produit scalaire de u et v que tu dois calculer
mais le produit scalaire de u et de \vec u \wedge \vec v

c'est ça ton erreur

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 16:56

ok du coup j ai touve a²x+b²y+c²z

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:01

non
quelles sont les coordonnées de vec u
quelles sont les coordonnées de \vec u \wedge \vec v

que vaut le produit scalaire de ces deux vecteurs ?

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:02

et pour le produit scalaire de v et de je trouve ax²+by²+cz²

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:03

coordonnes est a , b, c
et celle de est (bz-cy;cx-az,dy-bx)

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:05

gustosas1525 @ 19-01-2023 à 17:02

et pour le produit scalaire de v et de je trouve ax²+by²+cz²



gustosas1525 @ 19-01-2023 à 17:03

coordonnes est a , b, c
et celle de est (bz-cy;cx-az,dy-bx)


oui, eh bien calcule le produit scalaire maintenant

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:05

Je ne vois pas combien.vaut le produit scalaire des 2 vecteur ?

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:07

Produit scalaire dans l'espace

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:15

j ai pis formule =()

j ai fait a x(bz-cy) + b x(cx-az)+ cx(dy-bx)= abz-acy+bcx-baz+cay-cbx = 0

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:20

Tu devrais faire aperçu avant de poster

Ok pour ton calcul qui donne 0
Mais n'utilise pas x pour multiplier
Utilise *

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:26

toutes mes excuses
du coup pour l autre calcul je trouve aussi 0 pour vaut le produit scalaire des 2 vecteur et
du coup ils sont bien orthogonaux.
2/ et du coup pour cette question que faut il faire exactement

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:36

laisse toi porter par la question !

pour montrer que des vecteurs sont égaux, il suffit de montrer qu'ils ont les mêmes coordonnées

tu calcules les coordonnées de k\vec u, tu as celles de \vec v et ensuite tu calcules les coordonnées de leur produit vectoriel

ensuite tu fais de même avec les 2 autres expressions de ta double inégalité

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 17:57

j ai trouve cette formule *(k)=k*
mais je n arrive pas a l appliquer car vaut a,b,c) et vaut ( x,y,z) du coup je ne sias pas comment faire

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 18:05

j ai cherche et je trouve k (ax+by+cz) =0
c est ca?

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 18:19

gustosas1525 @ 19-01-2023 à 17:57

j ai trouve cette formule *(k)=k*
mais je n arrive pas a l appliquer car vaut a,b,c) et vaut ( x,y,z) du coup je ne sias pas comment faire


c'est quoi cette étoile entre des vecteurs ? le produit scalaire s'écrit avec un point, et le produit vectoriel c'est un V à l'envers

en plus le "j'ai trouvé cette formule" ne peut pas être utilisé, car ici on te demande justement de démontrer les formules

et pourquoi tu dis que cela vaut 0 ??

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 18:25

etoile est un multiplie

je pensais qu il fait mettre égale a 0

je ne comprends pas comment demontrer les formules

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 18:30

1° tu calcules les 3 coordonnées de (k\vec u) \wedge \vec v

2) tu calcules les 3 coordonnées de \vec u \wedge (k\vec v )

3) tu calcules les 3 coordonnées de k(\vec u \wedge \vec v)

si tout ça est égal, c'est que les 3 produits vectoriels valent la même chose

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 18:36

pour coordonnes de k ( ) je trouve k(bz-cy; cx-az ; ay-bx)

pour coordonnes de (k) je ne sais pas faire

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 19:15

Pour (k) je trouve ( kbz-kcy;kcx-kaz;kay-kbx)
On peut mettre  k en facteur

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 19:43

Citation :
pour coordonnes de (k) je ne sais pas faire


regarde cette page (clique sur la maison)

je ne suis pas trop disponible, si quelqu'un veut bien prendre la relève, merci

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 20:01

Bonjour,

pour comparer les trois expressions il faut les mettre sous la même forme
soit complètement développée, soit avec k en facteur .

pour \vec{u}\wedge(k\vec{v}) quelles sont les coordonnées du vecteur k\vec{v} ?

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 20:30

Bonjour.

Les coordonnés de ksont (kx;ky;kz)

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 20:40

oui,
donc dans le calcul de \vec{u}\wedge\vec{v} il suffit de remplacer x, y, z par ça pour avoir \vec{u}\wedge(k\vec{v})

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 21:05

Je trouve
(ky.ay-bx)- (kz.cx-az);(kx.bz-cy)-(kx.ay-bx);(kx.cx-az)-(ky.bz-cy)
Donc le résultat développé est.
Kyay-kybx-kxcx-kzaz);(kzbz-kzcy-kxay-kxbx);(kxcx-kzkx-kybz-kycy)

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 21:21

??

\vec{u}\wedge\vec{v} : (bz-cy ; cx-az ; ay -bx) \\ k\vec{v} : ({\red kx}; {\red ky}; {\red kz})

simple remplacement de x par kx de y par ky et de z par kz :

\vec{u}\wedge\vec{v} : \left(b{\red(kz)}-c{\red(ky)} ; c{\red(kx)}-a{\red(kz)} ; a{\red(ky)} -b{\red(kx)} \right) = ...

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 21:28

Je me complique.bcp
On trouve donc k(bz-cy);k(cx-az);k(ay-bx)

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 21:33

oui on trouve bkz-cky etc et c'est bien égal à kbz-kcy etc et à k(bz-cy) etc
(edit faute de frappe corrigée)

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 21:52

OK
Pour la question 2b est ce je cherche à dire que les coordonnees de et sont proportionnelles soit  : (bz-cy ; cx-az ; ay -bx)=0.??

Et la 3 je ne sais pas comment le prouver ?

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 22:06

tu peux dans la même veine que les calculs avec k\vec{v}

écrire que \vec{v} = k\vec{u} ; \red(ka; kb; kc) c'est à dire que x = ka, y = kb et z = kc
et donc \vec{u}\wedge\vec{v} : (... ...)
(il n'y a plus aucun x,y,z , que des a,b,c et k)

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 22:10

pour la 3 :
calculer \vec{v}\wedge\vec{u} c'est remplacer dans le calcul de \vec{u}\wedge\vec{v} en échangeant a,b,c et x,y,z
(c'est à dire remplacer a par x et x par a etc)

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 19-01-23 à 22:15

Je vais le faire et je vous le ferai voir demain.
Merci

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 20-01-23 à 07:43

Bonjour je viens de faire cela est ce juste?pour question 3;

(Remplacer  a par x et etc....)
(yc-zb);(za-xb);(xb-yx)

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 20-01-23 à 08:10

presque
erreurs en rouge :
(yc-zb);(za-xb);(xb-yx)
yx est une erreur manifeste !

et que peux tu dire de yc-zb par rapport à bz-cy ?

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 20-01-23 à 08:31

Pourquoi une erreur et je dois mettre quoi?

C est l'inverse

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 20-01-23 à 09:10

je dois mettre quoi? remplacer sans se tromper ..

en mathématique l'inverse s'est 1/X et -X c'est l'opposé
yc-zb = -(bz-cy)

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 20-01-23 à 09:19

Ah oui je viens de voir mon erreur

Donc du coup je fais pareil pour chaque identité et on trouve donc l opposé  

Posté par
mathafou Moderateurre : etude du produit vectoriel 20-01-23 à 09:41

bein oui

chaque coordonnée du vecteur \vec{v}\wedge\vec{u} est l'opposé de la coordonnée correspondante du vecteur \vec{u}\wedge\vec{v}
donc on a bien \vec{v}\wedge\vec{u} = -(\vec{u}\wedge\vec{v})

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 20-01-23 à 09:50

Super merci pour toutes vos explications.

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 20-01-23 à 10:33

gustosas1525, rebonjour

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q29 - Avoir plusieurs comptes est-il autorisé ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?



2 comptes ne sont pas nécessaires pour poster toutes les questions que tu désires.
merci de supprimer le compte que j'ai banni, et seulement ensuite, tu lèveras l'avertissement sur ce compte gustosas1525 (l'avertissement pour le moment te protège lors de cette manipulation)

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 21-01-23 à 16:26

Rebonjour je reviens encore vers vous car je suis en train de rédiger mon exo maison non noté au sujet de question 2b
En deduire que si etsont colineaires ssi =vecteur 0

Moi.j ai fait xx'+yy'+zz'=0 et je trouve

ax+bx+cz= 0 alors que (bx-cy;cx-az;ay-bx)
Je ne trouve pas du coup

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 21-01-23 à 16:34

2b)
le en déduire est important
l'idée est donc de relire le résultat de 2a)

que peux tu dire de u et v s'ils sont colinéaires ? \vec v = \dots

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 21-01-23 à 16:52

vois ici si besoin
Vecteurs

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 21-01-23 à 16:52

Pour 2a j ai fait si deux vecteurs sont égaux ils ont les mêmes coordonnées .
(k)= k(bz-cy);k(cx-az);k(ay-bx)
Et (k)= k(bc-cb);k(ca-ac);k(ab-ba)

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 21-01-23 à 16:59

Citation :
Pour 2a j ai fait si deux vecteurs sont égaux ils ont les mêmes coordonnées .


ça c'était la façon de démontrer tes égalités

je comprends pas trop ce que tu as voulu calculer dans les 2 lignes suivantes
privilégie toujours le raisonnement avant de calculer

ou bien u ou v est le vecteur nul, et le produit vectoriel est nul

ou bien u et v sont colinéaires non nuls alors il existe k réel tel que \vec v = k \vec u

et là calcule \vec u\wedge \vec v = \vec u \wedge (k \vec u)= \dots

et là tu utilises la question 2a) pour bouger k dans ton égalité
puis tu fais le calcul avec les coordonnées

Posté par
gustosas1525re : etude du produit vectoriel 21-01-23 à 17:10

Maintenant Je suis perdue.autant pour 2a que 2b
Ce que j ai fait pour la 2a ce n est pas correct?

Posté par
malou Webmasterre : etude du produit vectoriel 21-01-23 à 17:16

malou @ 19-01-2023 à 18:30

1° tu calcules les 3 coordonnées de (k\vec u) \wedge \vec v

2) tu calcules les 3 coordonnées de \vec u \wedge (k\vec v )

3) tu calcules les 3 coordonnées de k(\vec u \wedge \vec v)

si tout ça est égal, c'est que les 3 produits vectoriels valent la même chose


Et comme tu trouves la même chose pour les 3 calculs c'est que tu as démontré la double égalité
Ok ?
Ça c'est 2a

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