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étude du sens de variation d une fction trigonométrique
bonjour!
dans un exercice de représentation graphique je dois prouver que la fonction
est périodique de 2pi,que l'on peut l'étudier sur [0;pi]
et ensuite il faut que j'étudie le sens de variation sur [0;pi]
et c'est ici que je ne sais plus faire!!!
quelqu'un peut il m'aider pour l'étude du sens de variation svp?
la fonction est f(x)=3cos^2 (x)- 4cos(x).
j'ai calculé la dérivée et j'arrive à f'(x)=-3sin(2x) + 4sin(x)....c'est
peut être faux...
merci d'avance.
j'ai refait ton calcul de dérivée et j'ai trouvé la même
chose que toi. Saches que tu peux aussi l'écrire
f'(x)=2sin(x)[2-3cos(x)]
Ensuite il faut que tu calcules pour quelles valeurs la dérivée s'annule
sur [0,pi]
Tout d'abord tu a 0 et pi car sin(0)=sin(pi)=0
Pour la 2ème partie de ta dérivée essaies d'encadrer entre o et pi.
Bon courage
bonjour
permettez moi de vous répondre.
Une fonction est périodique de période T
ssi qq soit xélément de Df f(x+T)=f(x)
Dans votre cas vous avez:
T=2Pi
et
f(x)=3cos² (x)- 4cos(x).
vous calculez donc f(x+2Pi) et vous devez montrer qu'il est égal
à
f(x).
et ceci qq soit x élément de Df.
Donc vous pouvez restreindre l'étude des variations de f à [-Pi,Pi]
qui est un intervalle de diamètre 2Pi=T.
En effet, la périodicité de f sera la même dans tout intervalle de type
[-Pi+n.2Pi,Pi+n.2Pi].
ensuite vous étudiez la parité de f. Pour cela vous calculez f(-x).
si vous trouvez f(-x)=f(x) alors f est paire.
si vous trouvez f(-x)=-f(x) alors f est impaire.
dans les deux cas vous réduisez l'intervalle d'étude [-Pi,Pi]
à [0,Pi].
si f est paire elle aura des variations inverse dans[-Pi,0] de celles
de [0,Pi]
si f est impaire elle aura des variations semblables à celles de [0,Pi]
.
voila qq indications pour vous aider à faire l'exo par vous même.
bon courage et bonne journée.
j'ai calculé la dérivée et j'arrive à f'(x)=-3sin(2x) + 4sin(x)....c'est
f(x) = 3cos²(x) - 4cos(x)
f '(x) = -6.cos(x).sin(x) + 4sin(x)
f '(x) = 2sin(x).(2 - 3 cos(x))
f '(x) = 0 pour x = 0 et x = Pi
Sur ]0 ; Pi[, sin(x) > 0 et donc f '(x) a le signe de (2 - 3cos(x))
f '(x) = 0 pour cos(x) = 2/3, donc pour x = 0,841068670568...
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 0,841068670568...[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 0,841068670568...
f '(x) > 0 pour x dans ]0,841068670568... ; pi[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = Pi
Comme f(x) est paire et 2Pi périodique, on a:
f(x) a des maxima pour x = 2k.Pi (avec k dans Z)
f(x) a des minima pour x = 0,841068670568... + 2k.Pi et poour x = -0,841068670568...
+ 2k.Pi avec k dans Z.
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Sauf distraction. 
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