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Etude du tétraède ABCD

Posté par loulou1989 (invité) 18-02-07 à 15:47

            Bonjour à tous,

J'ai un petit pb à la dernière question d'un exo de DM (4. c). Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît. Le voici : (Enoncé)

Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :
OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O.
OA = OB = OC = a.
On appelle I  le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par vecteur HO=veceur DO.


1. Quelle est la nature du triangle ABC ? équilatéral

2. a) Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales.
b) Démontrer que la droite (BC) est orthogonale aux doites (OH) et (OA). fait
c) Démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC. réussi
3. a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC.
b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = ax(3/3.  réussi

4. Étude du tétraèdre ABCD.
L'espace est rapporté au repère orthonormal (O ; [1/a]OA ; [1/a]OB ; [1/a]OC)
a. Démontrer que le point H a pour coordonnées ( a/3 ; a/3 ; a/3).  réussi
b. démontrer que le tétraède ABCD est régulier. réussi
c. Soit w le centre de la sphère circonscrite au tétraède ABCD. Démontrer que w est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.  pas réussi
je sais que l'équation d'une sphère est (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R² avec (a,b,c) coordonnées de w et R le rayon mais je ne sais pas comment l'utiliser.

Pouvez vous m'aider s'il vous plaît

Posté par
Philippe101
re : Etude du tétraède ABCD 18-02-07 à 15:55

bonjour,

As tu fait qq chose au moins?

Posté par loulou1989 (invité)Etude du tétraède ABCD 18-02-07 à 16:06

Oui j'ai fait quelque chose. (Je demande juste de l'aide pour la 4.c), pas pour tout l'exo)

W est sur la plan médiateur de [AB]. Or, on sait que OA = OB, IA = IB et CA = CB.
Le plan médiateur de [AB] est donc (OIC).
En outre, W est sur le plan médiateur de [BC] qui n'est autre que (AOH). (Puisque AB = AC, OB = OC et HB = HC car H est le centre de gravité du triangle équilatéral ABC)
Donc W est situé sur l'intersection des plans (OIC) et (AOH), à savoir (OH).

Il existe donc un réel k tel que : OW=k OH (vecteurs)

a = k x (a/3)
b= k x (a/3)
c= k x (a/3)

Posté par
Philippe101
re : Etude du tétraède ABCD 18-02-07 à 16:09

OH=OD??
H=D

Posté par loulou1989 (invité)Etude du tétraède ABCD 18-02-07 à 16:12

H( a/3 ; a/3 ; a/3 )
D( -a/3 ; -a/3 , -a/3 )
mais je vois pas en quoi ça peut me servir ????

Posté par loulou1989 (invité)tétraedre circonscrit 18-02-07 à 17:01

Le tétraèdre ABCD étant régulier donc le centre de la sphère circonscrite est l'isobarycentre G de A,B,C et D

Ce point est tel que : 4OG=OA+OB+OC+OD

4OG=(ai)+(aj)+(ak)+(-a/3(i+j+k))
       = a(1-1/3)i +a(1-1/3)j+a(1-1/3)k
       = 2a/3(i+j+k)
Pourriez-vous m'expliquer ce qu'il y a ci-dessus svp car je ne comprend pa.

Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
bellus
re : Etude du tétraède ABCD 18-02-07 à 18:51

tu as réussi ?

sinon, soit w le centre de la sphére circonsrite au tétraèdre ABCD.
tu as donc w qui est sur ( OH) .
les coordonnées de w sont  alors (x;x;x) .
wA = wD soit (x- a)²+x²+x²= 3(x+ a/3 )²

donc x = a/6

le points w a pour coordonnées ( a/6; a/6 ; a/6 )

Posté par
mellepapillon
re : tétraedre circonscrit 19-02-07 à 10:25

bonjour !

d'après wikipedia:
"Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes

Le tétraèdre régulier, formé de quatre triangles équilatéraux, fait partie des cinq polyèdres réguliers, ou solides platoniciens."

et donc tout comme dans le plan où le barycentre d'un triangle équilatéral est le centre du cercle circonscrit à un triangle , dans l'espace, soit en 3dimensions, ce n'est plus un cercle mais une sphère

par proriété du barycentre, tu as :
en vecteur: pour tout point M de l'espace MA+MB+MC+MD= 4 MG
en remplacant M par O car O appartient à l'espace et donc vérifie aussi la propriété , tu as donc aussi l'égalité

ensuite je pense que ton a est donné par l'énoncé ou alors c'est toi qui l'impose... les vecteurs i , j , k sont les vecteurs définissant ta base orthonormale donc i, j ,k sont unitaires et orthogonaux deux à deux
O est le point de coordonnées (0,0,0) donc il te suffit de traduire tes vecteurs en termes de coordonnées dans l'espace

je pense que l'énoncé doit te donner les coordonnées de tes points A,B,C,D
tu as le vecteur OA = (xa-x0,ya-y0,za-z0)=(xa-0,ya-0,za-0)=(xa,ya,za)
de même OB=(xb,yb,zb) et pareil pour les autres, ce que te donnes ta formule

si l'énoncé ne te donne pas les coordonnées
alors je pense que c'est à toi de choisir le repère le plus façile , et donc tu choisis le repère de centre 0 passant par A,B et C donc A(a,0,0) , B(0,a,0) et C (0,0,a)
comme tu veux un tétraédre regulier ceci va t'"imposer" la place de D dnas l'espace
il faut que tu traduises les coordonnées de D en terme d'angle et en terme de distance en posant un système de trois inconnues (x,y,z)
il faut que D soit à une distance b de A,B et C et qui forment un angle de Pi/3 à chaque angle
b= (a²+a²)=2 a ( distance de AB=AC=BC )
je te laisse écrire AD=DB= DC=b
puis en terme de vecteur en utilisant les porduits scalaires dans une base orthonormées ( xx'+yy'+zz'...)

j'espère que ceci t'aidera
bonne journée

*** message déplacé ***



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