Tous les corps finis de même cardinal q sont isomorphes.

Est-ce que est irréductible dans ? Que dire alors de l'idéal de ?
Quel est la structure algébrique de l'anneau quotient ? Quel est son cardinal ?
Conclusion et rapport avec ?

Une vérification à la main montre que X^4+X^3+1 n'a ni facteur linéaire ni quadratique dans Z/2Z d'où l'irréductibilité . La notion de structure quotient est hors-programme en spé , et donc de même pour les propriétés des Idéaux autres que la "principalité" comme la minimalité par exemple. Je précise que même si j'ai  déjà rencontré ces notions en lisant des ouvrages , je suis très loin d'être un expert en algèbre et je ne saurai adapter une preuve avec les outils plus sophistiqué en une preuve avec ceux de bases ( niveau spé ).

Ah. A mon époque on en faisait en sup et en spé, et je ne suis pas si vieux
Je te donne la réponse alors, vu que c'est pour approfondir.

Quand tu quotientes un anneau par un idéal, ça fait un nouvel anneau, dans lequel, symboliquement, des éléments de l'idéal sont nullifiés.
Par exemple l'anneau des nombres complexes peut être vu comme le quotient R[X]/(X²+1), et dans cet anneau il y a un élément X = i qui vérifie effectivement i²+1 = 0

Il se trouve que quand l'idéal par lequel tu quotientes est principal, l'anneau résultant est intègre (un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul).
Et quand c'est un idéal maximal (c'est à dire strict et strictement contenu dans aucun autre idéal strict), alors tu obtiens un corps.
Dans notre exemple X²+1 est irréductible dans R[X], donc l'idéal qu'il engendre est maximal, et donc le quotient est un corps. On retrouve le fait que C est un corps
Mieux que ça, c'est un R-ev de dimension 2, car il est engendré R-linéairement par (la classe de) 1 et i (i étant la classe de X).


Comme tu l'as remarqué, est scindé dans n'importe quel corps à q éléments et c'est le polynôme unitaire de degré le plus petit tel que ce soit le cas. On arrive à une autre notion que tu ne connais pas qui est celle de corps de rupture et de corps de décomposition.
La remarque sur je viens de faire sur nous dit qu'un corps à q élements est un corps de décomposition de . Or, la théorie des corps nous apprend aussi que le corps de décomposition d'un polynôme (non nul) est unique à isomorphisme près. Donc tous les corps finis à q éléments sont isomorphes.

L'anneau quotient de Z/2Z[X] dont je parle est alors un corps, mais aussi un Z/2Z-ev de dimension 4. Donc aussi de cardinal 2^4 = 16, donc isomorphe à K.

La propriété sur les générateurs tombe tout seule et la liberté aussi, en travaillant dans le corps quotient. Ensuite, tu dis que c'est vrai aussi sur K, en les transportant par ton isomorphisme

Merci beaucoup pour ces explications très claires , en résumé sachant leur unicité ( à isomorphisme près ) , une fois un sens donné à Z/2Z[X]/X^4+X^3+1 on peut travailler dans cette version plus explicite du corps . Je vais essayer de creuser pour voir si une fois prouvé de la sorte on ne peut pas en déduire un raisonnement élémentaire/intuitif en ne considérant que les propriétés de bases sur les structures et les polynômes.