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Fonctions trigonométriques en terminale
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Niveau Reprise d'études-Ter
étude fonctions trigo
Posté par fanfan56
Bonjour,
Déterminer les extrema dans un intervalle de longueur égale à la période de la fonction:
f(x)= 3cosx+cos2x+cos3x.
Dom f =
Cette fonction est périodique , de période 2 
Nous pouvons limiter l'étude sur un intervalle de longueur 2, par exemple [0;2]
Cette fonction est paire cos(-x) = cosx
Calcul de la dérivée f'(x) et étude du signe
(3cos x+cos2x +cos 3x )'
= -3sin x-2sin 2x -3sin3x
en utilisant Simpson:
= -3(sinx +sin 3x)-2sin2x
= -3(2sin2x .cos x) -2sin2x
= -6sin2x.cos x-2sin 2x
= -2sin2x.(3sinx+1)
f'(x) = 0 <=> - sin 2x=0 ou 3 sin +1 =0
ESt-ce juste jusqu'ici?
Merci
Mamie
Bonjour,
Autre remarque.
Comme la fonction est paire, il suffit d'étudier ses variations sur puis de faire une symétrie.
bonjour
petite remarque :
la périodicité permet d'étudier sur un intervalle de longueur 2
il vaut mieux choisir [-;+] qui est symétrique par rapport à 0, ce qui, avec la parité, permet de ne l'étudier que sur [0;]
f'(x) = 0
<=> - sin 2x=0
<=> -2x=0+2k
<=> x=k ou x=/2 + k
ou 3 cos+1 =0
<=> cos x = -1/3
<=>x= 1,91 +2k ou x= 4,37 +2k
Oui.
Pour la seconde équation, la solution exacte est x = 
arccos(-1/3), mais les valeurs approchées sont bonnes.
Tableau de variations:
| x | - | -1,91 | -/2 | 0 | /2 | 1,91 | | ||||||
| -sin2x | - | - | - | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | + | + | + |
| 3 cosx +1 | - | - | 0 | + | + | + | + | + | + | + | 0 | - | - |
| f'(x) | + | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | - |
| f(x) | croissante | 0 | décroissante | 0 | croissante | 0 | décroissante | 0 | croissante | 0 | décroissante |
est-ce juste?
Bonjour,
Il vaut mieux poser a= arccos(-1/3) et indiquer a et -a dans le tableau au lieu de 1,91 et -1,91.
Par ailleurs f ne s'annule pas en a et -a, non plus qu'en 0 et /2.
Trouver si possible les valeurs de x qui annulent f.
Enfin donner les valeurs de f aux bornes de l'intervalle
avec la remarque de parité ...
matheuxmatou @ 17-03-2021 à 14:50
(on travaille dans [0;] il me semble... 
)
(on travaille dans [0;
] il me semble... )Citation :
Par ailleurs f ne s'annule pas en a et -a, non plus qu'en 0 et /2.
Par ailleurs f ne s'annule pas en a et -a, non plus qu'en 0 et /2.
Ben oui, où ai-je la tête?
Tout d'abord, matheuxmatou a raison d'insister sur l'intervalle d'étude, ce que j'avais signalé aussi.
Quand on étudie les variations d'une fonction, il faut commencer par déterminer le plus petit intervalle auquel on peut se restreindre pour effectuer l'étude, le reste s'en déduisant par symétrie, translations etc.
Ici, f est 2-périodique et paire. Il suffit par conséquent, d'étudier sur un intervalle d'amplitude 2, centré en 0.
Ne pas le voir est maladroit et vaut quelques points en moins le jour de l'examen.
Sur [0,], f a un maximum en 0 où elle vaut 5, et un minimum en où elle vaut -3.
Les autres points où f' s'annule sont des extremums locaux.
Noter que la valeur exacte de f(a)=-25/27.
L'étude montre que f s'annule une fois sur l'intervalle. Il n'est pas interdit de regarder si ça ne correspond pas à une valeur simple de x (c'est ce que j'ai fait).
Un calcul direct doit permettre de factoriser, mais je ne l'ai pas effectué.
fanfan56 @ 19-03-2021 à 11:28
Comment faire?
Citation :
Trouver si possible les valeurs de x qui annulent f.
Trouver si possible les valeurs de x qui annulent f.
Comment faire?
on peut, par exemple, utiliser l'expression sous forme de polynôme trigo :
f(x)= 3cosx+cos2x+cos3x = ... = 4 cos3(x) + 2 cos2(x) - 1
et voir que le polynôme 4X3+2X2-1 a une racine évidente qui est 1/2
puis le factoriser pour voir que c'est la seule
et donc la fonction s'annule pour cos(x)=1/2
larrech avait repéré cette valeur x =
/3 à l'œil nu ! Pas vraiment à l'oeil nu, non, geogebra ça aide. En vérifiant j'ai été tout surpris que ça marche.
On doit donc pouvoir factoriser (2cosx-1), mais j'ai la flemme.
larrech @ 19-03-2021 à 17:57
On doit donc pouvoir factoriser (2cosx-1)
On doit donc pouvoir factoriser (2cosx-1)
ben oui ! c'est ce que fais au-dessus ... ^^^^
f(x)= 3cosx+cos2x+cos3x = ... = 4 cos3(x) + 2 cos2(x) - 1 = (2 cos(x) - 1)(2 cos²(x) + 2 cos(x) + 1)
j'oublie toujours que les puissances ne passent pas quand on fait un copier/coller 
il faut bien sûr lire
f(x)= 3cosx+cos2x+cos3x = ... = 4 cos3(x) + 2 cos2(x) - 1 = (2 cos(x) - 1)(2 cos²(x) + 2 cos(x) + 1)